Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59857 / 59280
↖ ↑ ↗
← S 80.997452°
E148.804321°		 ← 95.58 m → S 80.997452°
E148.809814°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
S 80.998311°
E148.804321°		 ← 95.57 m →
9 133 m²		 S 80.998311°
E148.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913352966308594 y=0.904548645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913352966308594 × 216)
    floor (0.913352966308594 × 65536)
    floor (59857.5)     		tx = 59857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904548645019531 × 216)
    floor (0.904548645019531 × 65536)
    floor (59280.5)     		ty = 59280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59857 / 59280 ti = "16/59857/59280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59857/59280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59857 ÷ 216
    59857 ÷ 65536     		x = 0.913345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59280 ÷ 216
    59280 ÷ 65536     		y = 0.904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913345336914062 × 2 - 1) × π
    0.826690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59712535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.80908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54180616545386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59712535} λ = 2.59712535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54180616545386))-π/2
    2×atan(0.0787240825868008)-π/2
    2×0.0785620543216218-π/2
    0.157124108643244-1.57079632675     		φ = -1.41367222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59712535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41367222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.997452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59857 KachelY 59280 2.59712535 -1.41367222 148.804321 -80.997452
    Oben rechts KachelX + 1 59858 KachelY 59280 2.59722122 -1.41367222 148.809814 -80.997452
    Unten links KachelX 59857 KachelY + 1 59281 2.59712535 -1.41368722 148.804321 -80.998311
    Unten rechts KachelX + 1 59858 KachelY + 1 59281 2.59722122 -1.41368722 148.809814 -80.998311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41367222--1.41368722) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41367222--1.41368722) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59712535-2.59722122) × cos(-1.41367222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156478391450753 × 6371000     		do = 95.5750877673901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59712535-2.59722122) × cos(-1.41368722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156463576212414 × 6371000     		du = 95.5660388010036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41367222)-sin(-1.41368722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156478391450753-0.156463576212414)×R²
    abs(2.59722122-2.59712535)×1.48152383381284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48152383381284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48152383381284e-05×40589641000000     		ar = 9133.2008801046m²