Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59857 / 59151
↖ ↑ ↗
← S 80.885888°
E148.804321°		 ← 96.75 m → S 80.885888°
E148.809814°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
S 80.886759°
E148.804321°		 ← 96.74 m →
9 363 m²		 S 80.886759°
E148.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913352966308594 y=0.902580261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913352966308594 × 216)
    floor (0.913352966308594 × 65536)
    floor (59857.5)     		tx = 59857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902580261230469 × 216)
    floor (0.902580261230469 × 65536)
    floor (59151.5)     		ty = 59151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59857 / 59151 ti = "16/59857/59151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59857/59151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59857 ÷ 216
    59857 ÷ 65536     		x = 0.913345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59151 ÷ 216
    59151 ÷ 65536     		y = 0.902572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913345336914062 × 2 - 1) × π
    0.826690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59712535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902572631835938 × 2 - 1) × π
    -0.805145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52943844535188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59712535} λ = 2.59712535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52943844535188))-π/2
    2×atan(0.0797037657413374)-π/2
    2×0.0795356283732022-π/2
    0.159071256746404-1.57079632675     		φ = -1.41172507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59712535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41172507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.885888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59857 KachelY 59151 2.59712535 -1.41172507 148.804321 -80.885888
    Oben rechts KachelX + 1 59858 KachelY 59151 2.59722122 -1.41172507 148.809814 -80.885888
    Unten links KachelX 59857 KachelY + 1 59152 2.59712535 -1.41174026 148.804321 -80.886759
    Unten rechts KachelX + 1 59858 KachelY + 1 59152 2.59722122 -1.41174026 148.809814 -80.886759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41172507--1.41174026) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dl = 96.7754900003426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41172507--1.41174026) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dr = 96.7754900003426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59712535-2.59722122) × cos(-1.41172507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158401257403664 × 6371000     		do = 96.7495507747781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59712535-2.59722122) × cos(-1.41174026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158386259161825 × 6371000     		du = 96.740390032091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41172507)-sin(-1.41174026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158401257403664-0.158386259161825)×R²
    abs(2.59722122-2.59712535)×1.49982418395922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49982418395922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49982418395922e-05×40589641000000     		ar = 9362.54191570007m²