Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59857 / 59024
↖ ↑ ↗
← S 80.774716°
E148.804321°		 ← 97.92 m → S 80.774716°
E148.809814°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 80.775596°
E148.804321°		 ← 97.91 m →
9 588 m²		 S 80.775596°
E148.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913352966308594 y=0.900642395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913352966308594 × 216)
    floor (0.913352966308594 × 65536)
    floor (59857.5)     		tx = 59857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900642395019531 × 216)
    floor (0.900642395019531 × 65536)
    floor (59024.5)     		ty = 59024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59857 / 59024 ti = "16/59857/59024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59857/59024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59857 ÷ 216
    59857 ÷ 65536     		x = 0.913345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59024 ÷ 216
    59024 ÷ 65536     		y = 0.900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913345336914062 × 2 - 1) × π
    0.826690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59712535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.80126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51726247284839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59712535} λ = 2.59712535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51726247284839))-π/2
    2×atan(0.0806801688672682)-π/2
    2×0.0805057925392438-π/2
    0.161011585078488-1.57079632675     		φ = -1.40978474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59712535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40978474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.774716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59857 KachelY 59024 2.59712535 -1.40978474 148.804321 -80.774716
    Oben rechts KachelX + 1 59858 KachelY 59024 2.59722122 -1.40978474 148.809814 -80.774716
    Unten links KachelX 59857 KachelY + 1 59025 2.59712535 -1.40980011 148.804321 -80.775596
    Unten rechts KachelX + 1 59858 KachelY + 1 59025 2.59722122 -1.40980011 148.809814 -80.775596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40978474--1.40980011) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40978474--1.40980011) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59712535-2.59722122) × cos(-1.40978474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160316791011568 × 6371000     		do = 97.9195352755097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59712535-2.59722122) × cos(-1.40980011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160301619794144 × 6371000     		du = 97.910268881451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40978474)-sin(-1.40980011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160316791011568-0.160301619794144)×R²
    abs(2.59722122-2.59712535)×1.51712174241703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51712174241703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51712174241703e-05×40589641000000     		ar = 9588.04947835208m²