Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59856 / 35696
↖ ↑ ↗
← N 63.094759°
W 15.600586°		 ← 138.21 m → N 63.094759°
W 15.597839°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
N 63.093515°
W 15.600586°		 ← 138.22 m →
19 108 m²		 N 63.093515°
W 15.597839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456668853759766 y=0.272342681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456668853759766 × 217)
    floor (0.456668853759766 × 131072)
    floor (59856.5)     		tx = 59856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272342681884766 × 217)
    floor (0.272342681884766 × 131072)
    floor (35696.5)     		ty = 35696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59856 / 35696 ti = "17/59856/35696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59856/35696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59856 ÷ 217
    59856 ÷ 131072     		x = 0.4566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35696 ÷ 217
    35696 ÷ 131072     		y = 0.2723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27228159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2723388671875 × 2 - 1) × π
    0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27228159} λ = -0.27228159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43043708466248))-π/2
    2×atan(4.18052603646292)-π/2
    2×1.33600380134653-π/2
    2.67200760269306-1.57079632675     		φ = 1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27228159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59856 KachelY 35696 -0.27228159 1.10121128 -15.600586 63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 59857 KachelY 35696 -0.27223365 1.10121128 -15.597839 63.094759
    Unten links KachelX 59856 KachelY + 1 35697 -0.27228159 1.10118958 -15.600586 63.093515
    Unten rechts KachelX + 1 59857 KachelY + 1 35697 -0.27223365 1.10118958 -15.597839 63.093515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10121128-1.10118958) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10121128-1.10118958) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27228159--0.27223365) × cos(1.10121128) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 138.210121904785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27228159--0.27223365) × cos(1.10118958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452535638282206 × 6371000     		du = 138.216032198785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10121128)-sin(1.10118958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452535638282206)×R²
    abs(-0.27223365--0.27228159)×1.93510016514575e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93510016514575e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93510016514575e-05×40589641000000     		ar = 19108.0546523573m²