Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59856 / 30000
↖ ↑ ↗
← N 69.364831°
W 15.600586°		 ← 107.64 m → N 69.364831°
W 15.597839°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 69.363864°
W 15.600586°		 ← 107.64 m →
11 583 m²		 N 69.363864°
W 15.597839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456668853759766 y=0.228885650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456668853759766 × 217)
    floor (0.456668853759766 × 131072)
    floor (59856.5)     		tx = 59856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228885650634766 × 217)
    floor (0.228885650634766 × 131072)
    floor (30000.5)     		ty = 30000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59856 / 30000 ti = "17/59856/30000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59856/30000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59856 ÷ 217
    59856 ÷ 131072     		x = 0.4566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30000 ÷ 217
    30000 ÷ 131072     		y = 0.2288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27228159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    0.542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70348566489832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27228159} λ = -0.27228159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70348566489832))-π/2
    2×atan(5.49306103052335)-π/2
    2×1.3907205084744-π/2
    2.78144101694881-1.57079632675     		φ = 1.21064469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27228159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21064469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.364831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59856 KachelY 30000 -0.27228159 1.21064469 -15.600586 69.364831
    Oben rechts KachelX + 1 59857 KachelY 30000 -0.27223365 1.21064469 -15.597839 69.364831
    Unten links KachelX 59856 KachelY + 1 30001 -0.27228159 1.21062780 -15.600586 69.363864
    Unten rechts KachelX + 1 59857 KachelY + 1 30001 -0.27223365 1.21062780 -15.597839 69.363864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21064469-1.21062780) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21064469-1.21062780) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27228159--0.27223365) × cos(1.21064469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352416145619195 × 6371000     		do = 107.636962063745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27228159--0.27223365) × cos(1.21062780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352431951963872 × 6371000     		du = 107.641789728264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21064469)-sin(1.21062780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352416145619195-0.352431951963872)×R²
    abs(-0.27223365--0.27228159)×1.58063446767942e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58063446767942e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58063446767942e-05×40589641000000     		ar = 11582.6631344892m²