Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59855 / 59387
↖ ↑ ↗
← S 81.088961°
E148.793335°		 ← 94.61 m → S 81.088961°
E148.798828°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
S 81.089811°
E148.793335°		 ← 94.60 m →
8 951 m²		 S 81.089811°
E148.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913322448730469 y=0.906181335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913322448730469 × 216)
    floor (0.913322448730469 × 65536)
    floor (59855.5)     		tx = 59855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906181335449219 × 216)
    floor (0.906181335449219 × 65536)
    floor (59387.5)     		ty = 59387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59855 / 59387 ti = "16/59855/59387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59855/59387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59855 ÷ 216
    59855 ÷ 65536     		x = 0.913314819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59387 ÷ 216
    59387 ÷ 65536     		y = 0.906173706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913314819335938 × 2 - 1) × π
    0.826629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59693360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906173706054688 × 2 - 1) × π
    -0.812347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55206466197255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59693360} λ = 2.59693360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55206466197255))-π/2
    2×atan(0.0779206200645271)-π/2
    2×0.0777634905434877-π/2
    0.155526981086975-1.57079632675     		φ = -1.41526935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59693360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.793335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41526935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.088961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59855 KachelY 59387 2.59693360 -1.41526935 148.793335 -81.088961
    Oben rechts KachelX + 1 59856 KachelY 59387 2.59702947 -1.41526935 148.798828 -81.088961
    Unten links KachelX 59855 KachelY + 1 59388 2.59693360 -1.41528420 148.793335 -81.089811
    Unten rechts KachelX + 1 59856 KachelY + 1 59388 2.59702947 -1.41528420 148.798828 -81.089811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41526935--1.41528420) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41526935--1.41528420) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59693360-2.59702947) × cos(-1.41526935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154900736980827 × 6371000     		do = 94.6114757118735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59693360-2.59702947) × cos(-1.41528420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15488606620267 × 6371000     		du = 94.6025149799994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41526935)-sin(-1.41528420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154900736980827-0.15488606620267)×R²
    abs(2.59702947-2.59693360)×1.46707781562005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46707781562005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46707781562005e-05×40589641000000     		ar = 8950.70633555753m²