Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59852 / 59172
↖ ↑ ↗
← S 80.904143°
E148.776856°		 ← 96.56 m → S 80.904143°
E148.782348°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 80.905011°
E148.776856°		 ← 96.55 m →
9 325 m²		 S 80.905011°
E148.782348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913276672363281 y=0.902900695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913276672363281 × 216)
    floor (0.913276672363281 × 65536)
    floor (59852.5)     		tx = 59852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902900695800781 × 216)
    floor (0.902900695800781 × 65536)
    floor (59172.5)     		ty = 59172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59852 / 59172 ti = "16/59852/59172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59852/59172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59852 ÷ 216
    59852 ÷ 65536     		x = 0.91326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59172 ÷ 216
    59172 ÷ 65536     		y = 0.90289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91326904296875 × 2 - 1) × π
    0.8265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59664598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.8057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53145179513593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59664598} λ = 2.59664598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53145179513593))-π/2
    2×atan(0.0795434556161252)-π/2
    2×0.0793763281985864-π/2
    0.158752656397173-1.57079632675     		φ = -1.41204367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59664598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41204367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.904143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59852 KachelY 59172 2.59664598 -1.41204367 148.776856 -80.904143
    Oben rechts KachelX + 1 59853 KachelY 59172 2.59674185 -1.41204367 148.782348 -80.904143
    Unten links KachelX 59852 KachelY + 1 59173 2.59664598 -1.41205883 148.776856 -80.905011
    Unten rechts KachelX + 1 59853 KachelY + 1 59173 2.59674185 -1.41205883 148.782348 -80.905011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41204367--1.41205883) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41204367--1.41205883) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59664598-2.59674185) × cos(-1.41204367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158086671750953 × 6371000     		do = 96.5574057054842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59664598-2.59674185) × cos(-1.41205883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158071702366151 × 6371000     		du = 96.5482625883232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41204367)-sin(-1.41205883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158086671750953-0.158071702366151)×R²
    abs(2.59674185-2.59664598)×1.4969384801139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4969384801139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4969384801139e-05×40589641000000     		ar = 9325.49369239618m²