Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59851 / 59051
↖ ↑ ↗
← S 80.798463°
E148.771362°		 ← 97.68 m → S 80.798463°
E148.776856°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 80.799341°
E148.771362°		 ← 97.67 m →
9 540 m²		 S 80.799341°
E148.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913261413574219 y=0.901054382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913261413574219 × 216)
    floor (0.913261413574219 × 65536)
    floor (59851.5)     		tx = 59851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901054382324219 × 216)
    floor (0.901054382324219 × 65536)
    floor (59051.5)     		ty = 59051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59851 / 59051 ti = "16/59851/59051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59851/59051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59851 ÷ 216
    59851 ÷ 65536     		x = 0.913253784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59051 ÷ 216
    59051 ÷ 65536     		y = 0.901046752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913253784179688 × 2 - 1) × π
    0.826507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59655010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901046752929688 × 2 - 1) × π
    -0.802093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51985106542787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59655010} λ = 2.59655010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51985106542787))-π/2
    2×atan(0.0804715908590393)-π/2
    2×0.0802985599833992-π/2
    0.160597119966798-1.57079632675     		φ = -1.41019921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59655010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41019921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.798463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59851 KachelY 59051 2.59655010 -1.41019921 148.771362 -80.798463
    Oben rechts KachelX + 1 59852 KachelY 59051 2.59664598 -1.41019921 148.776856 -80.798463
    Unten links KachelX 59851 KachelY + 1 59052 2.59655010 -1.41021454 148.771362 -80.799341
    Unten rechts KachelX + 1 59852 KachelY + 1 59052 2.59664598 -1.41021454 148.776856 -80.799341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41019921--1.41021454) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dl = 97.6674299991658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41019921--1.41021454) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dr = 97.6674299991658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59655010-2.59664598) × cos(-1.41019921) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159907668168169 × 6371000     		do = 97.6798357638109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59655010-2.59664598) × cos(-1.41021454) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159892535416191 × 6371000     		du = 97.6705918998685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41019921)-sin(-1.41021454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159907668168169-0.159892535416191)×R²
    abs(2.59664598-2.59655010)×1.51327519782862e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51327519782862e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51327519782862e-05×40589641000000     		ar = 9539.68711005698m²