Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59848 / 59159
↖ ↑ ↗
← S 80.892847°
E148.754883°		 ← 96.69 m → S 80.892847°
E148.760376°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
S 80.893716°
E148.754883°		 ← 96.68 m →
9 344 m²		 S 80.893716°
E148.760376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913215637207031 y=0.902702331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913215637207031 × 216)
    floor (0.913215637207031 × 65536)
    floor (59848.5)     		tx = 59848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902702331542969 × 216)
    floor (0.902702331542969 × 65536)
    floor (59159.5)     		ty = 59159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59848 / 59159 ti = "16/59848/59159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59848/59159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59848 ÷ 216
    59848 ÷ 65536     		x = 0.9132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59159 ÷ 216
    59159 ÷ 65536     		y = 0.902694702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9132080078125 × 2 - 1) × π
    0.826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59626248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902694702148438 × 2 - 1) × π
    -0.805389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5302054357458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59626248} λ = 2.59626248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5302054357458))-π/2
    2×atan(0.079642657156499)-π/2
    2×0.0794749052478893-π/2
    0.158949810495779-1.57079632675     		φ = -1.41184652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59626248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41184652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.892847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59848 KachelY 59159 2.59626248 -1.41184652 148.754883 -80.892847
    Oben rechts KachelX + 1 59849 KachelY 59159 2.59635836 -1.41184652 148.760376 -80.892847
    Unten links KachelX 59848 KachelY + 1 59160 2.59626248 -1.41186169 148.754883 -80.893716
    Unten rechts KachelX + 1 59849 KachelY + 1 59160 2.59635836 -1.41186169 148.760376 -80.893716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41184652--1.41186169) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41184652--1.41186169) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59626248-2.59635836) × cos(-1.41184652) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158281339563454 × 6371000     		do = 96.686390528655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59626248-2.59635836) × cos(-1.41186169) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158266360777445 × 6371000     		du = 96.6772407150531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41184652)-sin(-1.41186169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158281339563454-0.158266360777445)×R²
    abs(2.59635836-2.59626248)×1.49787860085904e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49787860085904e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49787860085904e-05×40589641000000     		ar = 9344.11088377307m²