Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59848 / 27337
↖ ↑ ↗
← N 71.793689°
W 15.622559°		 ← 95.43 m → N 71.793689°
W 15.619812°		 →
↑
95.44 m
↓
↑
95.44 m
↓
N 71.792830°
W 15.622559°		 ← 95.43 m →
9 108 m²		 N 71.792830°
W 15.619812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456607818603516 y=0.208568572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456607818603516 × 217)
    floor (0.456607818603516 × 131072)
    floor (59848.5)     		tx = 59848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208568572998047 × 217)
    floor (0.208568572998047 × 131072)
    floor (27337.5)     		ty = 27337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59848 / 27337 ti = "17/59848/27337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59848/27337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59848 ÷ 217
    59848 ÷ 131072     		x = 0.45660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27337 ÷ 217
    27337 ÷ 131072     		y = 0.208564758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.0867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27266509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208564758300781 × 2 - 1) × π
    0.582870483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.83114162858652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27266509} λ = -0.27266509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83114162858652))-π/2
    2×atan(6.24100750564717)-π/2
    2×1.41191628763847-π/2
    2.82383257527694-1.57079632675     		φ = 1.25303625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27266509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.622559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25303625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.793689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59848 KachelY 27337 -0.27266509 1.25303625 -15.622559 71.793689
    Oben rechts KachelX + 1 59849 KachelY 27337 -0.27261715 1.25303625 -15.619812 71.793689
    Unten links KachelX 59848 KachelY + 1 27338 -0.27266509 1.25302127 -15.622559 71.792830
    Unten rechts KachelX + 1 59849 KachelY + 1 27338 -0.27261715 1.25302127 -15.619812 71.792830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25303625-1.25302127) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dl = 95.4375799999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25303625-1.25302127) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dr = 95.4375799999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27266509--0.27261715) × cos(1.25303625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312439558823862 × 6371000     		do = 95.4270834590996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27266509--0.27261715) × cos(1.25302127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312453788854671 × 6371000     		du = 95.4314296767894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25303625)-sin(1.25302127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312439558823862-0.312453788854671)×R²
    abs(-0.27261715--0.27266509)×1.42300308081933e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42300308081933e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42300308081933e-05×40589641000000     		ar = 9107.53730819169m²