Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59847 / 59287
↖ ↑ ↗
← S 81.003467°
E148.749390°		 ← 95.51 m → S 81.003467°
E148.754883°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
S 81.004326°
E148.749390°		 ← 95.50 m →
9 121 m²		 S 81.004326°
E148.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913200378417969 y=0.904655456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913200378417969 × 216)
    floor (0.913200378417969 × 65536)
    floor (59847.5)     		tx = 59847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904655456542969 × 216)
    floor (0.904655456542969 × 65536)
    floor (59287.5)     		ty = 59287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59847 / 59287 ti = "16/59847/59287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59847/59287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59847 ÷ 216
    59847 ÷ 65536     		x = 0.913192749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59287 ÷ 216
    59287 ÷ 65536     		y = 0.904647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913192749023438 × 2 - 1) × π
    0.826385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59616661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.809295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54247728204854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59616661} λ = 2.59616661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54247728204854))-π/2
    2×atan(0.0786712672731748)-π/2
    2×0.0785095640969779-π/2
    0.157019128193956-1.57079632675     		φ = -1.41377720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59616661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41377720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.003467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59847 KachelY 59287 2.59616661 -1.41377720 148.749390 -81.003467
    Oben rechts KachelX + 1 59848 KachelY 59287 2.59626248 -1.41377720 148.754883 -81.003467
    Unten links KachelX 59847 KachelY + 1 59288 2.59616661 -1.41379219 148.749390 -81.004326
    Unten rechts KachelX + 1 59848 KachelY + 1 59288 2.59626248 -1.41379219 148.754883 -81.004326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41377720--1.41379219) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41377720--1.41379219) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59616661-2.59626248) × cos(-1.41377720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156374703797167 × 6371000     		do = 95.5117566166801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59616661-2.59626248) × cos(-1.41379219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156359898189517 × 6371000     		du = 95.5027135326002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41377720)-sin(-1.41379219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156374703797167-0.156359898189517)×R²
    abs(2.59626248-2.59616661)×1.4805607649937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4805607649937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4805607649937e-05×40589641000000     		ar = 9121.06415429549m²