Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59847 / 41485
↖ ↑ ↗
← N 54.957117°
W 15.625305°		 ← 175.34 m → N 54.957117°
W 15.622559°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
N 54.955540°
W 15.625305°		 ← 175.34 m →
30 742 m²		 N 54.955540°
W 15.622559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456600189208984 y=0.316509246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456600189208984 × 217)
    floor (0.456600189208984 × 131072)
    floor (59847.5)     		tx = 59847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316509246826172 × 217)
    floor (0.316509246826172 × 131072)
    floor (41485.5)     		ty = 41485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59847 / 41485 ti = "17/59847/41485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59847/41485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59847 ÷ 217
    59847 ÷ 131072     		x = 0.456596374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41485 ÷ 217
    41485 ÷ 131072     		y = 0.316505432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456596374511719 × 2 - 1) × π
    -0.0868072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27271302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316505432128906 × 2 - 1) × π
    0.366989135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.15293037276197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27271302} λ = -0.27271302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15293037276197))-π/2
    2×atan(3.16746116525893)-π/2
    2×1.26498948416944-π/2
    2.52997896833889-1.57079632675     		φ = 0.95918264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27271302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.625305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95918264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.957117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59847 KachelY 41485 -0.27271302 0.95918264 -15.625305 54.957117
    Oben rechts KachelX + 1 59848 KachelY 41485 -0.27266509 0.95918264 -15.622559 54.957117
    Unten links KachelX 59847 KachelY + 1 41486 -0.27271302 0.95915512 -15.625305 54.955540
    Unten rechts KachelX + 1 59848 KachelY + 1 41486 -0.27266509 0.95915512 -15.622559 54.955540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95918264-0.95915512) × R
    2.75199999999476e-05 × 6371000     		dl = 175.329919999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95918264-0.95915512) × R
    2.75199999999476e-05 × 6371000     		dr = 175.329919999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27271302--0.27266509) × cos(0.95918264) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.574189368840317 × 6371000     		do = 175.335631273402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27271302--0.27266509) × cos(0.95915512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.5742118998667 × 6371000     		du = 175.342511393357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95918264)-sin(0.95915512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574189368840317-0.5742118998667)×R²
    abs(-0.27266509--0.27271302)×2.25310263827216e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25310263827216e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25310263827216e-05×40589641000000     		ar = 30742.1853517889m²