Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59846 / 59106
↖ ↑ ↗
← S 80.846649°
E148.743897°		 ← 97.16 m → S 80.846649°
E148.749390°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 80.847523°
E148.743897°		 ← 97.15 m →
9 440 m²		 S 80.847523°
E148.749390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913185119628906 y=0.901893615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913185119628906 × 216)
    floor (0.913185119628906 × 65536)
    floor (59846.5)     		tx = 59846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901893615722656 × 216)
    floor (0.901893615722656 × 65536)
    floor (59106.5)     		ty = 59106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59846 / 59106 ti = "16/59846/59106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59846/59106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59846 ÷ 216
    59846 ÷ 65536     		x = 0.913177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59106 ÷ 216
    59106 ÷ 65536     		y = 0.901885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913177490234375 × 2 - 1) × π
    0.82635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59607074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.80377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52512412438608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59607074} λ = 2.59607074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52512412438608))-π/2
    2×atan(0.0800483762144937)-π/2
    2×0.0798780541029638-π/2
    0.159756108205928-1.57079632675     		φ = -1.41104022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59607074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41104022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.846649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59846 KachelY 59106 2.59607074 -1.41104022 148.743897 -80.846649
    Oben rechts KachelX + 1 59847 KachelY 59106 2.59616661 -1.41104022 148.749390 -80.846649
    Unten links KachelX 59846 KachelY + 1 59107 2.59607074 -1.41105547 148.743897 -80.847523
    Unten rechts KachelX + 1 59847 KachelY + 1 59107 2.59616661 -1.41105547 148.749390 -80.847523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41104022--1.41105547) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dl = 97.157749999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41104022--1.41105547) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dr = 97.157749999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59607074-2.59616661) × cos(-1.41104022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159077423851891 × 6371000     		do = 97.1625449718393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59607074-2.59616661) × cos(-1.41105547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159062368025207 × 6371000     		du = 97.1533490570333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41104022)-sin(-1.41105547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159077423851891-0.159062368025207)×R²
    abs(2.59616661-2.59607074)×1.50558266843182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50558266843182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50558266843182e-05×40589641000000     		ar = 9439.64752685345m²