Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59844 / 82723
↖ ↑ ↗
← S 42.623854°
W 15.633545°		 ← 224.69 m → S 42.623854°
W 15.630799°		 →
↑
224.77 m
↓
↑
224.77 m
↓
S 42.625876°
W 15.633545°		 ← 224.68 m →
50 503 m²		 S 42.625876°
W 15.630799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456577301025391 y=0.631130218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456577301025391 × 217)
    floor (0.456577301025391 × 131072)
    floor (59844.5)     		tx = 59844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631130218505859 × 217)
    floor (0.631130218505859 × 131072)
    floor (82723.5)     		ty = 82723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59844 / 82723 ti = "17/59844/82723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59844/82723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59844 ÷ 217
    59844 ÷ 131072     		x = 0.456573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82723 ÷ 217
    82723 ÷ 131072     		y = 0.631126403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.08685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27285683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631126403808594 × 2 - 1) × π
    -0.262252807617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.823891493769905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27285683} λ = -0.27285683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823891493769905))-π/2
    2×atan(0.438721048032383)-π/2
    2×0.413434861564445-π/2
    0.82686972312889-1.57079632675     		φ = -0.74392660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27285683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.633545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74392660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.623854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59844 KachelY 82723 -0.27285683 -0.74392660 -15.633545 -42.623854
    Oben rechts KachelX + 1 59845 KachelY 82723 -0.27280890 -0.74392660 -15.630799 -42.623854
    Unten links KachelX 59844 KachelY + 1 82724 -0.27285683 -0.74396188 -15.633545 -42.625876
    Unten rechts KachelX + 1 59845 KachelY + 1 82724 -0.27280890 -0.74396188 -15.630799 -42.625876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74392660--0.74396188) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dl = 224.768879999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74392660--0.74396188) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dr = 224.768879999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27285683--0.27280890) × cos(-0.74392660) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.735815213703409 × 6371000     		do = 224.690027361234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27285683--0.27280890) × cos(-0.74396188) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.735791322251238 × 6371000     		du = 224.6827318189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74392660)-sin(-0.74396188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735815213703409-0.735791322251238)×R²
    abs(-0.27280890--0.27285683)×2.38914521708544e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38914521708544e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38914521708544e-05×40589641000000     		ar = 50502.505896942m²