Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59844 / 59847
↖ ↑ ↗
← S 81.471965°
E148.732910°		 ← 90.58 m → S 81.471965°
E148.738403°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 81.472779°
E148.732910°		 ← 90.57 m →
8 200 m²		 S 81.472779°
E148.738403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913154602050781 y=0.913200378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913154602050781 × 216)
    floor (0.913154602050781 × 65536)
    floor (59844.5)     		tx = 59844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913200378417969 × 216)
    floor (0.913200378417969 × 65536)
    floor (59847.5)     		ty = 59847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59844 / 59847 ti = "16/59844/59847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59844/59847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59844 ÷ 216
    59844 ÷ 65536     		x = 0.91314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59847 ÷ 216
    59847 ÷ 65536     		y = 0.913192749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91314697265625 × 2 - 1) × π
    0.8262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59587899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913192749023438 × 2 - 1) × π
    -0.826385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.596166609623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59587899} λ = 2.59587899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.596166609623))-π/2
    2×atan(0.0745588442530407)-π/2
    2×0.0744211451786416-π/2
    0.148842290357283-1.57079632675     		φ = -1.42195404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59587899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42195404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.471965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59844 KachelY 59847 2.59587899 -1.42195404 148.732910 -81.471965
    Oben rechts KachelX + 1 59845 KachelY 59847 2.59597486 -1.42195404 148.738403 -81.471965
    Unten links KachelX 59844 KachelY + 1 59848 2.59587899 -1.42196825 148.732910 -81.472779
    Unten rechts KachelX + 1 59845 KachelY + 1 59848 2.59597486 -1.42196825 148.738403 -81.472779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42195404--1.42196825) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42195404--1.42196825) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59587899-2.59597486) × cos(-1.42195404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148293319249615 × 6371000     		do = 90.5757457703685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59587899-2.59597486) × cos(-1.42196825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14827926634862 × 6371000     		du = 90.5671624303077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42195404)-sin(-1.42196825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148293319249615-0.14827926634862)×R²
    abs(2.59597486-2.59587899)×1.40529009949319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40529009949319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40529009949319e-05×40589641000000     		ar = 8199.60673122552m²