Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59843 / 85057
↖ ↑ ↗
← S 47.161708°
W 15.636292°		 ← 207.67 m → S 47.161708°
W 15.633545°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 47.163575°
W 15.636292°		 ← 207.66 m →
43 118 m²		 S 47.163575°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456569671630859 y=0.648937225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456569671630859 × 217)
    floor (0.456569671630859 × 131072)
    floor (59843.5)     		tx = 59843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648937225341797 × 217)
    floor (0.648937225341797 × 131072)
    floor (85057.5)     		ty = 85057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59843 / 85057 ti = "17/59843/85057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59843/85057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59843 ÷ 217
    59843 ÷ 131072     		x = 0.456565856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85057 ÷ 217
    85057 ÷ 131072     		y = 0.648933410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456565856933594 × 2 - 1) × π
    -0.0868682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27290477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648933410644531 × 2 - 1) × π
    -0.297866821289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.935776217483116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27290477} λ = -0.27290477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935776217483116))-π/2
    2×atan(0.392281251757631)-π/2
    2×0.373834624744768-π/2
    0.747669249489535-1.57079632675     		φ = -0.82312708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27290477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.636292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82312708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.161708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59843 KachelY 85057 -0.27290477 -0.82312708 -15.636292 -47.161708
    Oben rechts KachelX + 1 59844 KachelY 85057 -0.27285683 -0.82312708 -15.633545 -47.161708
    Unten links KachelX 59843 KachelY + 1 85058 -0.27290477 -0.82315967 -15.636292 -47.163575
    Unten rechts KachelX + 1 59844 KachelY + 1 85058 -0.27285683 -0.82315967 -15.633545 -47.163575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82312708--0.82315967) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82312708--0.82315967) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27290477--0.27285683) × cos(-0.82312708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679931523921186 × 6371000     		do = 207.66858884306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27290477--0.27285683) × cos(-0.82315967) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679907626107923 × 6371000     		du = 207.66128983576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82312708)-sin(-0.82315967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679931523921186-0.679907626107923)×R²
    abs(-0.27285683--0.27290477)×2.38978132628409e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38978132628409e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38978132628409e-05×40589641000000     		ar = 43117.6561807098m²