Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59843 / 83157
↖ ↑ ↗
← S 43.494776°
W 15.636292°		 ← 221.57 m → S 43.494776°
W 15.633545°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.496768°
W 15.636292°		 ← 221.56 m →
49 081 m²		 S 43.496768°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456569671630859 y=0.634441375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456569671630859 × 217)
    floor (0.456569671630859 × 131072)
    floor (59843.5)     		tx = 59843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634441375732422 × 217)
    floor (0.634441375732422 × 131072)
    floor (83157.5)     		ty = 83157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59843 / 83157 ti = "17/59843/83157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59843/83157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59843 ÷ 217
    59843 ÷ 131072     		x = 0.456565856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83157 ÷ 217
    83157 ÷ 131072     		y = 0.634437561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456565856933594 × 2 - 1) × π
    -0.0868682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27290477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634437561035156 × 2 - 1) × π
    -0.268875122070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.84469610820501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27290477} λ = -0.27290477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84469610820501))-π/2
    2×atan(0.429687917004245)-π/2
    2×0.405834645086578-π/2
    0.811669290173156-1.57079632675     		φ = -0.75912704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27290477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.636292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75912704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.494776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59843 KachelY 83157 -0.27290477 -0.75912704 -15.636292 -43.494776
    Oben rechts KachelX + 1 59844 KachelY 83157 -0.27285683 -0.75912704 -15.633545 -43.494776
    Unten links KachelX 59843 KachelY + 1 83158 -0.27290477 -0.75916181 -15.636292 -43.496768
    Unten rechts KachelX + 1 59844 KachelY + 1 83158 -0.27285683 -0.75916181 -15.633545 -43.496768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75912704--0.75916181) × R
    3.47700000000728e-05 × 6371000     		dl = 221.519670000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75912704--0.75916181) × R
    3.47700000000728e-05 × 6371000     		dr = 221.519670000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27290477--0.27285683) × cos(-0.75912704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.725437135345301 × 6371000     		do = 221.56717388643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27290477--0.27285683) × cos(-0.75916181) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.725413203118091 × 6371000     		du = 221.559864368224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75912704)-sin(-0.75916181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725437135345301-0.725413203118091)×R²
    abs(-0.27285683--0.27290477)×2.39322272107545e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39322272107545e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39322272107545e-05×40589641000000     		ar = 49080.6776461906m²