Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59843 / 59069
↖ ↑ ↗
← S 80.814261°
E148.727417°		 ← 97.51 m → S 80.814261°
E148.732910°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
S 80.815137°
E148.727417°		 ← 97.50 m →
9 505 m²		 S 80.815137°
E148.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913139343261719 y=0.901329040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913139343261719 × 216)
    floor (0.913139343261719 × 65536)
    floor (59843.5)     		tx = 59843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901329040527344 × 216)
    floor (0.901329040527344 × 65536)
    floor (59069.5)     		ty = 59069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59843 / 59069 ti = "16/59843/59069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59843/59069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59843 ÷ 216
    59843 ÷ 65536     		x = 0.913131713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59069 ÷ 216
    59069 ÷ 65536     		y = 0.901321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913131713867188 × 2 - 1) × π
    0.826263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59578311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.802642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52157679381419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59578311} λ = 2.59578311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52157679381419))-π/2
    2×atan(0.0803328385092709)-π/2
    2×0.0801606988394347-π/2
    0.160321397678869-1.57079632675     		φ = -1.41047493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59578311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.727417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41047493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.814261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59843 KachelY 59069 2.59578311 -1.41047493 148.727417 -80.814261
    Oben rechts KachelX + 1 59844 KachelY 59069 2.59587899 -1.41047493 148.732910 -80.814261
    Unten links KachelX 59843 KachelY + 1 59070 2.59578311 -1.41049023 148.727417 -80.815137
    Unten rechts KachelX + 1 59844 KachelY + 1 59070 2.59587899 -1.41049023 148.732910 -80.815137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41047493--1.41049023) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41047493--1.41049023) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59578311-2.59587899) × cos(-1.41047493) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159635490065036 × 6371000     		do = 97.5135753666888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59578311-2.59587899) × cos(-1.41049023) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159620386253123 × 6371000     		du = 97.5043491808282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41047493)-sin(-1.41049023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159635490065036-0.159620386253123)×R²
    abs(2.59587899-2.59578311)×1.51038119128033e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51038119128033e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51038119128033e-05×40589641000000     		ar = 9504.81285970844m²