Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59843 / 39617
↖ ↑ ↗
← N 57.796480°
W 15.636292°		 ← 162.77 m → N 57.796480°
W 15.633545°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.795017°
W 15.636292°		 ← 162.78 m →
26 496 m²		 N 57.795017°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456569671630859 y=0.302257537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456569671630859 × 217)
    floor (0.456569671630859 × 131072)
    floor (59843.5)     		tx = 59843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302257537841797 × 217)
    floor (0.302257537841797 × 131072)
    floor (39617.5)     		ty = 39617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59843 / 39617 ti = "17/59843/39617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59843/39617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59843 ÷ 217
    59843 ÷ 131072     		x = 0.456565856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39617 ÷ 217
    39617 ÷ 131072     		y = 0.302253723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456565856933594 × 2 - 1) × π
    -0.0868682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27290477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302253723144531 × 2 - 1) × π
    0.395492553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.24247650125224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27290477} λ = -0.27290477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24247650125224))-π/2
    2×atan(3.46418190132812)-π/2
    2×1.28976760102076-π/2
    2.57953520204152-1.57079632675     		φ = 1.00873888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27290477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.636292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00873888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.796480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59843 KachelY 39617 -0.27290477 1.00873888 -15.636292 57.796480
    Oben rechts KachelX + 1 59844 KachelY 39617 -0.27285683 1.00873888 -15.633545 57.796480
    Unten links KachelX 59843 KachelY + 1 39618 -0.27290477 1.00871333 -15.636292 57.795017
    Unten rechts KachelX + 1 59844 KachelY + 1 39618 -0.27285683 1.00871333 -15.633545 57.795017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00873888-1.00871333) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dl = 162.779049999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00873888-1.00871333) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dr = 162.779049999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27290477--0.27285683) × cos(1.00873888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532928254725276 × 6371000     		do = 162.770006566458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27290477--0.27285683) × cos(1.00871333) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532949873950342 × 6371000     		du = 162.776609634272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00873888)-sin(1.00871333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532928254725276-0.532949873950342)×R²
    abs(-0.27285683--0.27290477)×2.16192250660496e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16192250660496e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16192250660496e-05×40589641000000     		ar = 26496.0844594758m²