Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59842 / 85058
↖ ↑ ↗
← S 47.163575°
W 15.639038°		 ← 207.66 m → S 47.163575°
W 15.636292°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 47.165442°
W 15.639038°		 ← 207.65 m →
43 116 m²		 S 47.165442°
W 15.636292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456562042236328 y=0.648944854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456562042236328 × 217)
    floor (0.456562042236328 × 131072)
    floor (59842.5)     		tx = 59842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648944854736328 × 217)
    floor (0.648944854736328 × 131072)
    floor (85058.5)     		ty = 85058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59842 / 85058 ti = "17/59842/85058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59842/85058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59842 ÷ 217
    59842 ÷ 131072     		x = 0.456558227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85058 ÷ 217
    85058 ÷ 131072     		y = 0.648941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456558227539062 × 2 - 1) × π
    -0.086883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27295271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648941040039062 × 2 - 1) × π
    -0.297882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935824154382736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27295271} λ = -0.27295271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935824154382736))-π/2
    2×atan(0.392262447461357)-π/2
    2×0.37381832812654-π/2
    0.74763665625308-1.57079632675     		φ = -0.82315967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27295271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.639038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82315967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.163575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59842 KachelY 85058 -0.27295271 -0.82315967 -15.639038 -47.163575
    Oben rechts KachelX + 1 59843 KachelY 85058 -0.27290477 -0.82315967 -15.636292 -47.163575
    Unten links KachelX 59842 KachelY + 1 85059 -0.27295271 -0.82319226 -15.639038 -47.165442
    Unten rechts KachelX + 1 59843 KachelY + 1 85059 -0.27290477 -0.82319226 -15.636292 -47.165442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82315967--0.82319226) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82315967--0.82319226) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27295271--0.27290477) × cos(-0.82315967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679907626107923 × 6371000     		do = 207.661289835519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27295271--0.27290477) × cos(-0.82319226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679883727572525 × 6371000     		du = 207.653990607661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82315967)-sin(-0.82319226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679907626107923-0.679883727572525)×R²
    abs(-0.27290477--0.27295271)×2.38985353983034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38985353983034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38985353983034e-05×40589641000000     		ar = 43116.1406582924m²