Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59841 / 85059
↖ ↑ ↗
← S 47.165442°
W 15.641784°		 ← 207.61 m → S 47.165442°
W 15.639038°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 47.167309°
W 15.641784°		 ← 207.60 m →
43 106 m²		 S 47.167309°
W 15.639038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456554412841797 y=0.648952484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456554412841797 × 217)
    floor (0.456554412841797 × 131072)
    floor (59841.5)     		tx = 59841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648952484130859 × 217)
    floor (0.648952484130859 × 131072)
    floor (85059.5)     		ty = 85059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59841 / 85059 ti = "17/59841/85059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59841/85059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59841 ÷ 217
    59841 ÷ 131072     		x = 0.456550598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85059 ÷ 217
    85059 ÷ 131072     		y = 0.648948669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456550598144531 × 2 - 1) × π
    -0.0868988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27300064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648948669433594 × 2 - 1) × π
    -0.297897338867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.935872091282356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27300064} λ = -0.27300064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935872091282356))-π/2
    2×atan(0.39224364406648)-π/2
    2×0.373802032081162-π/2
    0.747604064162324-1.57079632675     		φ = -0.82319226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27300064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.641784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82319226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.165442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59841 KachelY 85059 -0.27300064 -0.82319226 -15.641784 -47.165442
    Oben rechts KachelX + 1 59842 KachelY 85059 -0.27295271 -0.82319226 -15.639038 -47.165442
    Unten links KachelX 59841 KachelY + 1 85060 -0.27300064 -0.82322485 -15.641784 -47.167309
    Unten rechts KachelX + 1 59842 KachelY + 1 85060 -0.27295271 -0.82322485 -15.639038 -47.167309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82319226--0.82322485) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82319226--0.82322485) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27300064--0.27295271) × cos(-0.82319226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679883727572525 × 6371000     		do = 207.61067521564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27300064--0.27295271) × cos(-0.82322485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679859828315016 × 6371000     		du = 207.603377289852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82319226)-sin(-0.82322485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679883727572525-0.679859828315016)×R²
    abs(-0.27295271--0.27300064)×2.38992575082309e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38992575082309e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38992575082309e-05×40589641000000     		ar = 43105.6316350164m²