Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59841 / 82811
↖ ↑ ↗
← S 42.801447°
W 15.641784°		 ← 224.05 m → S 42.801447°
W 15.639038°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
S 42.803462°
W 15.641784°		 ← 224.04 m →
50 201 m²		 S 42.803462°
W 15.639038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456554412841797 y=0.631801605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456554412841797 × 217)
    floor (0.456554412841797 × 131072)
    floor (59841.5)     		tx = 59841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631801605224609 × 217)
    floor (0.631801605224609 × 131072)
    floor (82811.5)     		ty = 82811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59841 / 82811 ti = "17/59841/82811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59841/82811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59841 ÷ 217
    59841 ÷ 131072     		x = 0.456550598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82811 ÷ 217
    82811 ÷ 131072     		y = 0.631797790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456550598144531 × 2 - 1) × π
    -0.0868988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27300064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631797790527344 × 2 - 1) × π
    -0.263595581054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.82810994093647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27300064} λ = -0.27300064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82810994093647))-π/2
    2×atan(0.436874224572724)-π/2
    2×0.411885079906931-π/2
    0.823770159813863-1.57079632675     		φ = -0.74702617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27300064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.641784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74702617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.801447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59841 KachelY 82811 -0.27300064 -0.74702617 -15.641784 -42.801447
    Oben rechts KachelX + 1 59842 KachelY 82811 -0.27295271 -0.74702617 -15.639038 -42.801447
    Unten links KachelX 59841 KachelY + 1 82812 -0.27300064 -0.74706134 -15.641784 -42.803462
    Unten rechts KachelX + 1 59842 KachelY + 1 82812 -0.27295271 -0.74706134 -15.639038 -42.803462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74702617--0.74706134) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dl = 224.06806999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74702617--0.74706134) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dr = 224.06806999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27300064--0.27295271) × cos(-0.74702617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733712708276555 × 6371000     		do = 224.048002036264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27300064--0.27295271) × cos(-0.74706134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733688811220534 × 6371000     		du = 224.040704782726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74702617)-sin(-0.74706134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733712708276555-0.733688811220534)×R²
    abs(-0.27295271--0.27300064)×2.3897056020572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3897056020572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3897056020572e-05×40589641000000     		ar = 50201.1858679307m²