Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59840 / 85217
↖ ↑ ↗
← S 47.459666°
W 15.644531°		 ← 206.50 m → S 47.459666°
W 15.641784°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 47.461523°
W 15.644531°		 ← 206.49 m →
42 638 m²		 S 47.461523°
W 15.641784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456546783447266 y=0.650157928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456546783447266 × 217)
    floor (0.456546783447266 × 131072)
    floor (59840.5)     		tx = 59840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650157928466797 × 217)
    floor (0.650157928466797 × 131072)
    floor (85217.5)     		ty = 85217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59840 / 85217 ti = "17/59840/85217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59840/85217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59840 ÷ 217
    59840 ÷ 131072     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85217 ÷ 217
    85217 ÷ 131072     		y = 0.650154113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650154113769531 × 2 - 1) × π
    -0.300308227539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.943446121422325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943446121422325))-π/2
    2×atan(0.389284001244619)-π/2
    2×0.371234450512973-π/2
    0.742468901025945-1.57079632675     		φ = -0.82832743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82832743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.459666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59840 KachelY 85217 -0.27304858 -0.82832743 -15.644531 -47.459666
    Oben rechts KachelX + 1 59841 KachelY 85217 -0.27300064 -0.82832743 -15.641784 -47.459666
    Unten links KachelX 59840 KachelY + 1 85218 -0.27304858 -0.82835984 -15.644531 -47.461523
    Unten rechts KachelX + 1 59841 KachelY + 1 85218 -0.27300064 -0.82835984 -15.641784 -47.461523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82832743--0.82835984) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82832743--0.82835984) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27300064) × cos(-0.82832743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67610905739017 × 6371000     		do = 206.50110917396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27300064) × cos(-0.82835984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676085177296438 × 6371000     		du = 206.49381557866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82832743)-sin(-0.82835984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67610905739017-0.676085177296438)×R²
    abs(-0.27300064--0.27304858)×2.38800937318873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38800937318873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38800937318873e-05×40589641000000     		ar = 42638.4447396926m²