Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59840 / 58302
↖ ↑ ↗
← S 80.116678°
E148.710937°		 ← 104.85 m → S 80.116678°
E148.716431°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 80.117621°
E148.710937°		 ← 104.84 m →
10 995 m²		 S 80.117621°
E148.716431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913093566894531 y=0.889625549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913093566894531 × 216)
    floor (0.913093566894531 × 65536)
    floor (59840.5)     		tx = 59840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889625549316406 × 216)
    floor (0.889625549316406 × 65536)
    floor (58302.5)     		ty = 58302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59840 / 58302 ti = "16/59840/58302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59840/58302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59840 ÷ 216
    59840 ÷ 65536     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58302 ÷ 216
    58302 ÷ 65536     		y = 0.889617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.889617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.77923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.44804158979703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44804158979703))-π/2
    2×atan(0.0864627503316423)-π/2
    2×0.0862482520245322-π/2
    0.172496504049064-1.57079632675     		φ = -1.39829982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39829982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.116678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59840 KachelY 58302 2.59549549 -1.39829982 148.710937 -80.116678
    Oben rechts KachelX + 1 59841 KachelY 58302 2.59559137 -1.39829982 148.716431 -80.116678
    Unten links KachelX 59840 KachelY + 1 58303 2.59549549 -1.39831628 148.710937 -80.117621
    Unten rechts KachelX + 1 59841 KachelY + 1 58303 2.59559137 -1.39831628 148.716431 -80.117621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39829982--1.39831628) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dl = 104.866659999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39829982--1.39831628) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dr = 104.866659999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59559137) × cos(-1.39829982) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.171642338360522 × 6371000     		do = 104.847976418603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59559137) × cos(-1.39831628) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.171626122614681 × 6371000     		du = 104.838071006256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39829982)-sin(-1.39831628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171642338360522-0.171626122614681)×R²
    abs(2.59559137-2.59549549)×1.62157458409584e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.62157458409584e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.62157458409584e-05×40589641000000     		ar = 10994.5377214873m²