Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59840 / 27456
↖ ↑ ↗
← N 71.691293°
W 15.644531°		 ← 95.95 m → N 71.691293°
W 15.641784°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 71.690430°
W 15.644531°		 ← 95.95 m →
9 206 m²		 N 71.690430°
W 15.641784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456546783447266 y=0.209476470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456546783447266 × 217)
    floor (0.456546783447266 × 131072)
    floor (59840.5)     		tx = 59840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209476470947266 × 217)
    floor (0.209476470947266 × 131072)
    floor (27456.5)     		ty = 27456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59840 / 27456 ti = "17/59840/27456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59840/27456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59840 ÷ 217
    59840 ÷ 131072     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27456 ÷ 217
    27456 ÷ 131072     		y = 0.20947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20947265625 × 2 - 1) × π
    0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82543713753174))-π/2
    2×atan(6.2055070863394)-π/2
    2×1.41102271486491-π/2
    2.82204542972981-1.57079632675     		φ = 1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59840 KachelY 27456 -0.27304858 1.25124910 -15.644531 71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 59841 KachelY 27456 -0.27300064 1.25124910 -15.641784 71.691293
    Unten links KachelX 59840 KachelY + 1 27457 -0.27304858 1.25123404 -15.644531 71.690430
    Unten rechts KachelX + 1 59841 KachelY + 1 27457 -0.27300064 1.25123404 -15.641784 71.690430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25124910-1.25123404) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25124910-1.25123404) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27300064) × cos(1.25124910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 95.9454462831154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27300064) × cos(1.25123404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314151037617787 × 6371000     		du = 95.9498131361176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25124910)-sin(1.25123404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314151037617787)×R²
    abs(-0.27300064--0.27304858)×1.42975932619915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42975932619915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42975932619915e-05×40589641000000     		ar = 9205.91217431665m²