Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59839 / 85956
↖ ↑ ↗
← S 48.814098°
W 15.647278°		 ← 201.12 m → S 48.814098°
W 15.644531°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
S 48.815907°
W 15.647278°		 ← 201.12 m →
40 452 m²		 S 48.815907°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456539154052734 y=0.655796051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456539154052734 × 217)
    floor (0.456539154052734 × 131072)
    floor (59839.5)     		tx = 59839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655796051025391 × 217)
    floor (0.655796051025391 × 131072)
    floor (85956.5)     		ty = 85956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59839 / 85956 ti = "17/59839/85956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59839/85956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59839 ÷ 217
    59839 ÷ 131072     		x = 0.456535339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85956 ÷ 217
    85956 ÷ 131072     		y = 0.655792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456535339355469 × 2 - 1) × π
    -0.0869293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27309652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655792236328125 × 2 - 1) × π
    -0.31158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.978871490241547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27309652} λ = -0.27309652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978871490241547))-π/2
    2×atan(0.375734880164608)-π/2
    2×0.359414793059024-π/2
    0.718829586118048-1.57079632675     		φ = -0.85196674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27309652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.647278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85196674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.814098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59839 KachelY 85956 -0.27309652 -0.85196674 -15.647278 -48.814098
    Oben rechts KachelX + 1 59840 KachelY 85956 -0.27304858 -0.85196674 -15.644531 -48.814098
    Unten links KachelX 59839 KachelY + 1 85957 -0.27309652 -0.85199831 -15.647278 -48.815907
    Unten rechts KachelX + 1 59840 KachelY + 1 85957 -0.27304858 -0.85199831 -15.644531 -48.815907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85196674--0.85199831) × R
    3.15700000000918e-05 × 6371000     		dl = 201.132470000585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85196674--0.85199831) × R
    3.15700000000918e-05 × 6371000     		dr = 201.132470000585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27309652--0.27304858) × cos(-0.85196674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658504297184688 × 6371000     		do = 201.124162260914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27309652--0.27304858) × cos(-0.85199831) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658480538001703 × 6371000     		du = 201.116905594869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85196674)-sin(-0.85199831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658504297184688-0.658480538001703)×R²
    abs(-0.27304858--0.27309652)×2.3759182984362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3759182984362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3759182984362e-05×40589641000000     		ar = 40451.8697602332m²