Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59839 / 59855
↖ ↑ ↗
← S 81.478479°
E148.705444°		 ← 90.51 m → S 81.478479°
E148.710937°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 81.479293°
E148.705444°		 ← 90.50 m →
8 193 m²		 S 81.479293°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913078308105469 y=0.913322448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913078308105469 × 216)
    floor (0.913078308105469 × 65536)
    floor (59839.5)     		tx = 59839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913322448730469 × 216)
    floor (0.913322448730469 × 65536)
    floor (59855.5)     		ty = 59855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59839 / 59855 ti = "16/59839/59855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59839/59855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59839 ÷ 216
    59839 ÷ 65536     		x = 0.913070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59855 ÷ 216
    59855 ÷ 65536     		y = 0.913314819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913070678710938 × 2 - 1) × π
    0.826141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59539962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913314819335938 × 2 - 1) × π
    -0.826629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59693360001692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59539962} λ = 2.59539962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59693360001692))-π/2
    2×atan(0.0745016802606356)-π/2
    2×0.0743642969644376-π/2
    0.148728593928875-1.57079632675     		φ = -1.42206773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59539962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42206773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.478479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59839 KachelY 59855 2.59539962 -1.42206773 148.705444 -81.478479
    Oben rechts KachelX + 1 59840 KachelY 59855 2.59549549 -1.42206773 148.710937 -81.478479
    Unten links KachelX 59839 KachelY + 1 59856 2.59539962 -1.42208194 148.705444 -81.479293
    Unten rechts KachelX + 1 59840 KachelY + 1 59856 2.59549549 -1.42208194 148.710937 -81.479293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42206773--1.42208194) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42206773--1.42208194) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.42206773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14818088531386 × 6371000     		do = 90.507072497476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.42208194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148166832173394 × 6371000     		du = 90.4984890111494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42206773)-sin(-1.42208194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14818088531386-0.148166832173394)×R²
    abs(2.59549549-2.59539962)×1.40531404657918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40531404657918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40531404657918e-05×40589641000000     		ar = 8193.38960226803m²