Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59839 / 59115
↖ ↑ ↗
← S 80.854510°
E148.705444°		 ← 97.08 m → S 80.854510°
E148.710937°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 80.855384°
E148.705444°		 ← 97.07 m →
9 425 m²		 S 80.855384°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913078308105469 y=0.902030944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913078308105469 × 216)
    floor (0.913078308105469 × 65536)
    floor (59839.5)     		tx = 59839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902030944824219 × 216)
    floor (0.902030944824219 × 65536)
    floor (59115.5)     		ty = 59115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59839 / 59115 ti = "16/59839/59115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59839/59115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59839 ÷ 216
    59839 ÷ 65536     		x = 0.913070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59115 ÷ 216
    59115 ÷ 65536     		y = 0.902023315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913070678710938 × 2 - 1) × π
    0.826141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59539962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902023315429688 × 2 - 1) × π
    -0.804046630859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52598698857924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59539962} λ = 2.59539962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52598698857924))-π/2
    2×atan(0.0799793351277619)-π/2
    2×0.0798094522204041-π/2
    0.159618904440808-1.57079632675     		φ = -1.41117742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59539962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41117742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.854510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59839 KachelY 59115 2.59539962 -1.41117742 148.705444 -80.854510
    Oben rechts KachelX + 1 59840 KachelY 59115 2.59549549 -1.41117742 148.710937 -80.854510
    Unten links KachelX 59839 KachelY + 1 59116 2.59539962 -1.41119266 148.705444 -80.855384
    Unten rechts KachelX + 1 59840 KachelY + 1 59116 2.59549549 -1.41119266 148.710937 -80.855384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41117742--1.41119266) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41117742--1.41119266) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.41117742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158941969444712 × 6371000     		do = 97.0798110765418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.41119266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158926923158251 × 6371000     		du = 97.0706209887874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41117742)-sin(-1.41119266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158941969444712-0.158926923158251)×R²
    abs(2.59549549-2.59539962)×1.50462864611511e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50462864611511e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50462864611511e-05×40589641000000     		ar = 9425.42490870118m²