Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59839 / 58560
↖ ↑ ↗
← S 80.356996°
E148.705444°		 ← 102.31 m → S 80.356996°
E148.710937°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 80.357916°
E148.705444°		 ← 102.30 m →
10 468 m²		 S 80.357916°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913078308105469 y=0.893562316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913078308105469 × 216)
    floor (0.913078308105469 × 65536)
    floor (59839.5)     		tx = 59839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893562316894531 × 216)
    floor (0.893562316894531 × 65536)
    floor (58560.5)     		ty = 58560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59839 / 58560 ti = "16/59839/58560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59839/58560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59839 ÷ 216
    59839 ÷ 65536     		x = 0.913070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58560 ÷ 216
    58560 ÷ 65536     		y = 0.8935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913070678710938 × 2 - 1) × π
    0.826141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59539962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8935546875 × 2 - 1) × π
    -0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59539962} λ = 2.59539962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47277703000098))-π/2
    2×atan(0.0843502901635867)-π/2
    2×0.0841510898883826-π/2
    0.168302179776765-1.57079632675     		φ = -1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59539962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59839 KachelY 58560 2.59539962 -1.40249415 148.705444 -80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 59840 KachelY 58560 2.59549549 -1.40249415 148.710937 -80.356996
    Unten links KachelX 59839 KachelY + 1 58561 2.59539962 -1.40251021 148.705444 -80.357916
    Unten rechts KachelX + 1 59840 KachelY + 1 58561 2.59549549 -1.40251021 148.710937 -80.357916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40249415--1.40251021) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dl = 102.318259999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40249415--1.40251021) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dr = 102.318259999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.40249415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 102.312300351354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.40251021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167492924237061 × 6371000     		du = 102.302629685531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40249415)-sin(-1.40251021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.167492924237061)×R²
    abs(2.59549549-2.59539962)×1.58331032441561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58331032441561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58331032441561e-05×40589641000000     		ar = 10467.9218061194m²