Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59839 / 58303
↖ ↑ ↗
← S 80.117621°
E148.705444°		 ← 104.83 m → S 80.117621°
E148.710937°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 80.118564°
E148.705444°		 ← 104.82 m →
10 986 m²		 S 80.118564°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913078308105469 y=0.889640808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913078308105469 × 216)
    floor (0.913078308105469 × 65536)
    floor (59839.5)     		tx = 59839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889640808105469 × 216)
    floor (0.889640808105469 × 65536)
    floor (58303.5)     		ty = 58303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59839 / 58303 ti = "16/59839/58303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59839/58303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59839 ÷ 216
    59839 ÷ 65536     		x = 0.913070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58303 ÷ 216
    58303 ÷ 65536     		y = 0.889633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913070678710938 × 2 - 1) × π
    0.826141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59539962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.889633178710938 × 2 - 1) × π
    -0.779266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.44813746359627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59539962} λ = 2.59539962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44813746359627))-π/2
    2×atan(0.0864544612166361)-π/2
    2×0.0862400244116769-π/2
    0.172480048823354-1.57079632675     		φ = -1.39831628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59539962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39831628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.117621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59839 KachelY 58303 2.59539962 -1.39831628 148.705444 -80.117621
    Oben rechts KachelX + 1 59840 KachelY 58303 2.59549549 -1.39831628 148.710937 -80.117621
    Unten links KachelX 59839 KachelY + 1 58304 2.59539962 -1.39833273 148.705444 -80.118564
    Unten rechts KachelX + 1 59840 KachelY + 1 58304 2.59549549 -1.39833273 148.710937 -80.118564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39831628--1.39833273) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39831628--1.39833273) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.39831628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171626122614681 × 6371000     		do = 104.827136705565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59539962-2.59549549) × cos(-1.39833273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171609916673991 × 6371000     		du = 104.817238315191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39831628)-sin(-1.39833273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171626122614681-0.171609916673991)×R²
    abs(2.59549549-2.59539962)×1.62059406901838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62059406901838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62059406901838e-05×40589641000000     		ar = 10985.6744766973m²