Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59839 / 41478
↖ ↑ ↗
← N 54.968155°
W 15.647278°		 ← 175.32 m → N 54.968155°
W 15.644531°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
N 54.966578°
W 15.647278°		 ← 175.33 m →
30 740 m²		 N 54.966578°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456539154052734 y=0.316455841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456539154052734 × 217)
    floor (0.456539154052734 × 131072)
    floor (59839.5)     		tx = 59839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316455841064453 × 217)
    floor (0.316455841064453 × 131072)
    floor (41478.5)     		ty = 41478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59839 / 41478 ti = "17/59839/41478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59839/41478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59839 ÷ 217
    59839 ÷ 131072     		x = 0.456535339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41478 ÷ 217
    41478 ÷ 131072     		y = 0.316452026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456535339355469 × 2 - 1) × π
    -0.0869293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27309652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316452026367188 × 2 - 1) × π
    0.367095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15326593105931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27309652} λ = -0.27309652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15326593105931))-π/2
    2×atan(3.16852421148145)-π/2
    2×1.26508580794004-π/2
    2.53017161588007-1.57079632675     		φ = 0.95937529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27309652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.647278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95937529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.968155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59839 KachelY 41478 -0.27309652 0.95937529 -15.647278 54.968155
    Oben rechts KachelX + 1 59840 KachelY 41478 -0.27304858 0.95937529 -15.644531 54.968155
    Unten links KachelX 59839 KachelY + 1 41479 -0.27309652 0.95934777 -15.647278 54.966578
    Unten rechts KachelX + 1 59840 KachelY + 1 41479 -0.27304858 0.95934777 -15.644531 54.966578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95937529-0.95934777) × R
    2.75199999999476e-05 × 6371000     		dl = 175.329919999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95937529-0.95934777) × R
    2.75199999999476e-05 × 6371000     		dr = 175.329919999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27309652--0.27304858) × cos(0.95937529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574031631292111 × 6371000     		do = 175.324035770888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27309652--0.27304858) × cos(0.95934777) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574054165362331 × 6371000     		du = 175.33091825596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95937529)-sin(0.95934777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574031631292111-0.574054165362331)×R²
    abs(-0.27304858--0.27309652)×2.2534070220237e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2534070220237e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2534070220237e-05×40589641000000     		ar = 30740.152520427m²