Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59838 / 85957
↖ ↑ ↗
← S 48.815907°
W 15.650024°		 ← 201.07 m → S 48.815907°
W 15.647278°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
S 48.817716°
W 15.650024°		 ← 201.07 m →
40 429 m²		 S 48.817716°
W 15.647278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456531524658203 y=0.655803680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456531524658203 × 217)
    floor (0.456531524658203 × 131072)
    floor (59838.5)     		tx = 59838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655803680419922 × 217)
    floor (0.655803680419922 × 131072)
    floor (85957.5)     		ty = 85957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59838 / 85957 ti = "17/59838/85957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59838/85957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59838 ÷ 217
    59838 ÷ 131072     		x = 0.456527709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85957 ÷ 217
    85957 ÷ 131072     		y = 0.655799865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456527709960938 × 2 - 1) × π
    -0.086944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27314445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655799865722656 × 2 - 1) × π
    -0.311599731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.978919427141167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27314445} λ = -0.27314445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978919427141167))-π/2
    2×atan(0.375716869031076)-π/2
    2×0.35939901001654-π/2
    0.718798020033079-1.57079632675     		φ = -0.85199831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27314445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.650024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85199831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.815907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59838 KachelY 85957 -0.27314445 -0.85199831 -15.650024 -48.815907
    Oben rechts KachelX + 1 59839 KachelY 85957 -0.27309652 -0.85199831 -15.647278 -48.815907
    Unten links KachelX 59838 KachelY + 1 85958 -0.27314445 -0.85202987 -15.650024 -48.817716
    Unten rechts KachelX + 1 59839 KachelY + 1 85958 -0.27309652 -0.85202987 -15.647278 -48.817716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85199831--0.85202987) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dl = 201.068759999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85199831--0.85202987) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dr = 201.068759999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27314445--0.27309652) × cos(-0.85199831) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.658480538001703 × 6371000     		do = 201.074953799582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27314445--0.27309652) × cos(-0.85202987) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.65845678568862 × 6371000     		du = 201.067700745042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85199831)-sin(-0.85202987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658480538001703-0.65845678568862)×R²
    abs(-0.27309652--0.27314445)×2.37523130832695e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37523130832695e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37523130832695e-05×40589641000000     		ar = 40429.1624494295m²