Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59838 / 82876
↖ ↑ ↗
← S 42.932296°
W 15.650024°		 ← 223.57 m → S 42.932296°
W 15.647278°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 42.934307°
W 15.650024°		 ← 223.57 m →
49 995 m²		 S 42.934307°
W 15.647278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456531524658203 y=0.632297515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456531524658203 × 217)
    floor (0.456531524658203 × 131072)
    floor (59838.5)     		tx = 59838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632297515869141 × 217)
    floor (0.632297515869141 × 131072)
    floor (82876.5)     		ty = 82876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59838 / 82876 ti = "17/59838/82876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59838/82876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59838 ÷ 217
    59838 ÷ 131072     		x = 0.456527709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82876 ÷ 217
    82876 ÷ 131072     		y = 0.632293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456527709960938 × 2 - 1) × π
    -0.086944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27314445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.26458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831225839411774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27314445} λ = -0.27314445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831225839411774))-π/2
    2×atan(0.435515087408822)-π/2
    2×0.410743202919677-π/2
    0.821486405839354-1.57079632675     		φ = -0.74930992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27314445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.650024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74930992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.932296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59838 KachelY 82876 -0.27314445 -0.74930992 -15.650024 -42.932296
    Oben rechts KachelX + 1 59839 KachelY 82876 -0.27309652 -0.74930992 -15.647278 -42.932296
    Unten links KachelX 59838 KachelY + 1 82877 -0.27314445 -0.74934502 -15.650024 -42.934307
    Unten rechts KachelX + 1 59839 KachelY + 1 82877 -0.27309652 -0.74934502 -15.647278 -42.934307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74930992--0.74934502) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dl = 223.622100000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74930992--0.74934502) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dr = 223.622100000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27314445--0.27309652) × cos(-0.74930992) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.732159079893084 × 6371000     		do = 223.573582918962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27314445--0.27309652) × cos(-0.74934502) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.732135171650121 × 6371000     		du = 223.566282249357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74930992)-sin(-0.74934502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732159079893084-0.732135171650121)×R²
    abs(-0.27309652--0.27314445)×2.39082429628334e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39082429628334e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39082429628334e-05×40589641000000     		ar = 49995.1778265256m²