Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59837 / 85216
↖ ↑ ↗
← S 47.457808°
W 15.652771°		 ← 206.51 m → S 47.457808°
W 15.650024°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
S 47.459666°
W 15.652771°		 ← 206.50 m →
42 653 m²		 S 47.459666°
W 15.650024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456523895263672 y=0.650150299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456523895263672 × 217)
    floor (0.456523895263672 × 131072)
    floor (59837.5)     		tx = 59837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650150299072266 × 217)
    floor (0.650150299072266 × 131072)
    floor (85216.5)     		ty = 85216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59837 / 85216 ti = "17/59837/85216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59837/85216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59837 ÷ 217
    59837 ÷ 131072     		x = 0.456520080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85216 ÷ 217
    85216 ÷ 131072     		y = 0.650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456520080566406 × 2 - 1) × π
    -0.0869598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27319239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.30029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.943398184522705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27319239} λ = -0.27319239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943398184522705))-π/2
    2×atan(0.389302662759995)-π/2
    2×0.371250656085241-π/2
    0.742501312170483-1.57079632675     		φ = -0.82829501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27319239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.652771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82829501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.457808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59837 KachelY 85216 -0.27319239 -0.82829501 -15.652771 -47.457808
    Oben rechts KachelX + 1 59838 KachelY 85216 -0.27314445 -0.82829501 -15.650024 -47.457808
    Unten links KachelX 59837 KachelY + 1 85217 -0.27319239 -0.82832743 -15.652771 -47.459666
    Unten rechts KachelX + 1 59838 KachelY + 1 85217 -0.27314445 -0.82832743 -15.650024 -47.459666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82829501--0.82832743) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dl = 206.547819999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82829501--0.82832743) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dr = 206.547819999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27319239--0.27314445) × cos(-0.82829501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676132944141508 × 6371000     		do = 206.508404802902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27319239--0.27314445) × cos(-0.82832743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67610905739017 × 6371000     		du = 206.501109174199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82829501)-sin(-0.82832743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676132944141508-0.67610905739017)×R²
    abs(-0.27314445--0.27319239)×2.38867513379093e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38867513379093e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38867513379093e-05×40589641000000     		ar = 42653.107379292m²