Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59837 / 59289
↖ ↑ ↗
← S 81.005184°
E148.694458°		 ← 95.50 m → S 81.005184°
E148.699951°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
S 81.006043°
E148.694458°		 ← 95.49 m →
9 120 m²		 S 81.006043°
E148.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913047790527344 y=0.904685974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913047790527344 × 216)
    floor (0.913047790527344 × 65536)
    floor (59837.5)     		tx = 59837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904685974121094 × 216)
    floor (0.904685974121094 × 65536)
    floor (59289.5)     		ty = 59289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59837 / 59289 ti = "16/59837/59289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59837/59289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59837 ÷ 216
    59837 ÷ 65536     		x = 0.913040161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59289 ÷ 216
    59289 ÷ 65536     		y = 0.904678344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913040161132812 × 2 - 1) × π
    0.826080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59520787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904678344726562 × 2 - 1) × π
    -0.809356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54266902964702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59520787} λ = 2.59520787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54266902964702))-π/2
    2×atan(0.0786561836927721)-π/2
    2×0.0784945732794799-π/2
    0.15698914655896-1.57079632675     		φ = -1.41380718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59520787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.694458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41380718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.005184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59837 KachelY 59289 2.59520787 -1.41380718 148.694458 -81.005184
    Oben rechts KachelX + 1 59838 KachelY 59289 2.59530375 -1.41380718 148.699951 -81.005184
    Unten links KachelX 59837 KachelY + 1 59290 2.59520787 -1.41382217 148.694458 -81.006043
    Unten rechts KachelX + 1 59838 KachelY + 1 59290 2.59530375 -1.41382217 148.699951 -81.006043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41380718--1.41382217) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41380718--1.41382217) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59520787-2.59530375) × cos(-1.41380718) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156345092546733 × 6371000     		do = 95.5036311728462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59520787-2.59530375) × cos(-1.41382217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156330286868818 × 6371000     		du = 95.4945871025795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41380718)-sin(-1.41382217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156345092546733-0.156330286868818)×R²
    abs(2.59530375-2.59520787)×1.48056779147865e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48056779147865e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48056779147865e-05×40589641000000     		ar = 9120.28811687618m²