Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59837 / 58304
↖ ↑ ↗
← S 80.118564°
E148.694458°		 ← 104.83 m → S 80.118564°
E148.699951°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 80.119506°
E148.694458°		 ← 104.82 m →
10 986 m²		 S 80.119506°
E148.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913047790527344 y=0.889656066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913047790527344 × 216)
    floor (0.913047790527344 × 65536)
    floor (59837.5)     		tx = 59837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889656066894531 × 216)
    floor (0.889656066894531 × 65536)
    floor (58304.5)     		ty = 58304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59837 / 58304 ti = "16/59837/58304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59837/58304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59837 ÷ 216
    59837 ÷ 65536     		x = 0.913040161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58304 ÷ 216
    58304 ÷ 65536     		y = 0.8896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913040161132812 × 2 - 1) × π
    0.826080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59520787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8896484375 × 2 - 1) × π
    -0.779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.44823333739551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59520787} λ = 2.59520787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44823333739551))-π/2
    2×atan(0.0864461728963008)-π/2
    2×0.086231797575893-π/2
    0.172463595151786-1.57079632675     		φ = -1.39833273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59520787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.694458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39833273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.118564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59837 KachelY 58304 2.59520787 -1.39833273 148.694458 -80.118564
    Oben rechts KachelX + 1 59838 KachelY 58304 2.59530375 -1.39833273 148.699951 -80.118564
    Unten links KachelX 59837 KachelY + 1 58305 2.59520787 -1.39834918 148.694458 -80.119506
    Unten rechts KachelX + 1 59838 KachelY + 1 58305 2.59530375 -1.39834918 148.699951 -80.119506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39833273--1.39834918) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dl = 104.802950001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39833273--1.39834918) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dr = 104.802950001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59520787-2.59530375) × cos(-1.39833273) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.171609916673991 × 6371000     		do = 104.828171582915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59520787-2.59530375) × cos(-1.39834918) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.171593710686863 × 6371000     		du = 104.818272131693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39833273)-sin(-1.39834918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171609916673991-0.171593710686863)×R²
    abs(2.59530375-2.59520787)×1.62059871284537e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.62059871284537e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.62059871284537e-05×40589641000000     		ar = 10985.7828793897m²