Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59837 / 27332
↖ ↑ ↗
← N 71.797979°
W 15.652771°		 ← 95.41 m → N 71.797979°
W 15.650024°		 →
↑
95.44 m
↓
↑
95.44 m
↓
N 71.797121°
W 15.652771°		 ← 95.41 m →
9 105 m²		 N 71.797121°
W 15.650024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456523895263672 y=0.208530426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456523895263672 × 217)
    floor (0.456523895263672 × 131072)
    floor (59837.5)     		tx = 59837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208530426025391 × 217)
    floor (0.208530426025391 × 131072)
    floor (27332.5)     		ty = 27332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59837 / 27332 ti = "17/59837/27332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59837/27332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59837 ÷ 217
    59837 ÷ 131072     		x = 0.456520080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27332 ÷ 217
    27332 ÷ 131072     		y = 0.208526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456520080566406 × 2 - 1) × π
    -0.0869598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27319239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208526611328125 × 2 - 1) × π
    0.58294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83138131308463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27319239} λ = -0.27319239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83138131308463))-π/2
    2×atan(6.24250355768188)-π/2
    2×1.41195372683569-π/2
    2.82390745367138-1.57079632675     		φ = 1.25311113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27319239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.652771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25311113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.797979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59837 KachelY 27332 -0.27319239 1.25311113 -15.652771 71.797979
    Oben rechts KachelX + 1 59838 KachelY 27332 -0.27314445 1.25311113 -15.650024 71.797979
    Unten links KachelX 59837 KachelY + 1 27333 -0.27319239 1.25309615 -15.652771 71.797121
    Unten rechts KachelX + 1 59838 KachelY + 1 27333 -0.27314445 1.25309615 -15.650024 71.797121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25311113-1.25309615) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dl = 95.4375799999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25311113-1.25309615) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dr = 95.4375799999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27319239--0.27314445) × cos(1.25311113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312368426617433 × 6371000     		do = 95.405357852313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27319239--0.27314445) × cos(1.25309615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312382656998673 × 6371000     		du = 95.4097041770339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25311113)-sin(1.25309615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312368426617433-0.312382656998673)×R²
    abs(-0.27314445--0.27319239)×1.42303812404876e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42303812404876e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42303812404876e-05×40589641000000     		ar = 9105.46387410818m²