Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59836 / 59076
↖ ↑ ↗
← S 80.820397°
E148.688965°		 ← 97.44 m → S 80.820397°
E148.694458°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
S 80.821273°
E148.688965°		 ← 97.43 m →
9 491 m²		 S 80.821273°
E148.694458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913032531738281 y=0.901435852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913032531738281 × 216)
    floor (0.913032531738281 × 65536)
    floor (59836.5)     		tx = 59836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901435852050781 × 216)
    floor (0.901435852050781 × 65536)
    floor (59076.5)     		ty = 59076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59836 / 59076 ti = "16/59836/59076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59836/59076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59836 ÷ 216
    59836 ÷ 65536     		x = 0.91302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59076 ÷ 216
    59076 ÷ 65536     		y = 0.90142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91302490234375 × 2 - 1) × π
    0.8260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59511200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.8028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52224791040887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59511200} λ = 2.59511200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52224791040887))-π/2
    2×atan(0.0802789438950574)-π/2
    2×0.0801071495664318-π/2
    0.160214299132864-1.57079632675     		φ = -1.41058203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59511200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41058203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.820397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59836 KachelY 59076 2.59511200 -1.41058203 148.688965 -80.820397
    Oben rechts KachelX + 1 59837 KachelY 59076 2.59520787 -1.41058203 148.694458 -80.820397
    Unten links KachelX 59836 KachelY + 1 59077 2.59511200 -1.41059732 148.688965 -80.821273
    Unten rechts KachelX + 1 59837 KachelY + 1 59077 2.59520787 -1.41059732 148.694458 -80.821273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41058203--1.41059732) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41058203--1.41059732) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59511200-2.59520787) × cos(-1.41058203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159529762597094 × 6371000     		do = 97.4388279453065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59511200-2.59520787) × cos(-1.41059732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159514668395653 × 6371000     		du = 97.4296085916681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41058203)-sin(-1.41059732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159529762597094-0.159514668395653)×R²
    abs(2.59520787-2.59511200)×1.50942014415512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50942014415512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50942014415512e-05×40589641000000     		ar = 9491.31955600389m²