Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59836 / 39476
↖ ↑ ↗
← N 58.002277°
W 15.655518°		 ← 161.84 m → N 58.002277°
W 15.652771°		 →
↑
161.82 m
↓
↑
161.82 m
↓
N 58.000821°
W 15.655518°		 ← 161.85 m →
26 190 m²		 N 58.000821°
W 15.652771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456516265869141 y=0.301181793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456516265869141 × 217)
    floor (0.456516265869141 × 131072)
    floor (59836.5)     		tx = 59836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301181793212891 × 217)
    floor (0.301181793212891 × 131072)
    floor (39476.5)     		ty = 39476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59836 / 39476 ti = "17/59836/39476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59836/39476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59836 ÷ 217
    59836 ÷ 131072     		x = 0.456512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39476 ÷ 217
    39476 ÷ 131072     		y = 0.301177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.08697509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27324033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301177978515625 × 2 - 1) × π
    0.39764404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24923560409866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27324033} λ = -0.27324033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24923560409866))-π/2
    2×atan(3.48767597305673)-π/2
    2×1.29156351503014-π/2
    2.58312703006029-1.57079632675     		φ = 1.01233070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27324033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.655518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01233070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.002277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59836 KachelY 39476 -0.27324033 1.01233070 -15.655518 58.002277
    Oben rechts KachelX + 1 59837 KachelY 39476 -0.27319239 1.01233070 -15.652771 58.002277
    Unten links KachelX 59836 KachelY + 1 39477 -0.27324033 1.01230530 -15.655518 58.000821
    Unten rechts KachelX + 1 59837 KachelY + 1 39477 -0.27319239 1.01230530 -15.652771 58.000821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01233070-1.01230530) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dl = 161.823399999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01233070-1.01230530) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dr = 161.823399999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27324033--0.27319239) × cos(1.01233070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.529885567604747 × 6371000     		do = 161.840691600894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27324033--0.27319239) × cos(1.01230530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.529907108390255 × 6371000     		du = 161.847270711248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01233070)-sin(1.01230530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529885567604747-0.529907108390255)×R²
    abs(-0.27319239--0.27324033)×2.15407855080896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15407855080896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15407855080896e-05×40589641000000     		ar = 26190.1433017652m²