Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59836 / 35637
↖ ↑ ↗
← N 63.167995°
W 15.655518°		 ← 137.86 m → N 63.167995°
W 15.652771°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
N 63.166756°
W 15.655518°		 ← 137.87 m →
18 998 m²		 N 63.166756°
W 15.652771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456516265869141 y=0.271892547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456516265869141 × 217)
    floor (0.456516265869141 × 131072)
    floor (59836.5)     		tx = 59836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271892547607422 × 217)
    floor (0.271892547607422 × 131072)
    floor (35637.5)     		ty = 35637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59836 / 35637 ti = "17/59836/35637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59836/35637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59836 ÷ 217
    59836 ÷ 131072     		x = 0.456512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35637 ÷ 217
    35637 ÷ 131072     		y = 0.271888732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.08697509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27324033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271888732910156 × 2 - 1) × π
    0.456222534179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.43326536174006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27324033} λ = -0.27324033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43326536174006))-π/2
    2×atan(4.19236645852847)-π/2
    2×1.33664291559411-π/2
    2.67328583118822-1.57079632675     		φ = 1.10248950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27324033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.655518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10248950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.167995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59836 KachelY 35637 -0.27324033 1.10248950 -15.655518 63.167995
    Oben rechts KachelX + 1 59837 KachelY 35637 -0.27319239 1.10248950 -15.652771 63.167995
    Unten links KachelX 59836 KachelY + 1 35638 -0.27324033 1.10246787 -15.655518 63.166756
    Unten rechts KachelX + 1 59837 KachelY + 1 35638 -0.27319239 1.10246787 -15.652771 63.166756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10248950-1.10246787) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10248950-1.10246787) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27324033--0.27319239) × cos(1.10248950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451376057389176 × 6371000     		do = 137.861866346281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27324033--0.27319239) × cos(1.10246787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451395358464215 × 6371000     		du = 137.867761391408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10248950)-sin(1.10246787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451376057389176-0.451395358464215)×R²
    abs(-0.27319239--0.27324033)×1.9301075038447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9301075038447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9301075038447e-05×40589641000000     		ar = 18998.4234524777m²