Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59835 / 85217
↖ ↑ ↗
← S 47.459666°
W 15.658264°		 ← 206.46 m → S 47.459666°
W 15.655518°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 47.461523°
W 15.658264°		 ← 206.45 m →
42 630 m²		 S 47.461523°
W 15.655518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456508636474609 y=0.650157928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456508636474609 × 217)
    floor (0.456508636474609 × 131072)
    floor (59835.5)     		tx = 59835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650157928466797 × 217)
    floor (0.650157928466797 × 131072)
    floor (85217.5)     		ty = 85217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59835 / 85217 ti = "17/59835/85217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59835/85217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59835 ÷ 217
    59835 ÷ 131072     		x = 0.456504821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85217 ÷ 217
    85217 ÷ 131072     		y = 0.650154113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456504821777344 × 2 - 1) × π
    -0.0869903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27328826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650154113769531 × 2 - 1) × π
    -0.300308227539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.943446121422325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27328826} λ = -0.27328826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943446121422325))-π/2
    2×atan(0.389284001244619)-π/2
    2×0.371234450512973-π/2
    0.742468901025945-1.57079632675     		φ = -0.82832743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27328826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.658264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82832743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.459666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59835 KachelY 85217 -0.27328826 -0.82832743 -15.658264 -47.459666
    Oben rechts KachelX + 1 59836 KachelY 85217 -0.27324033 -0.82832743 -15.655518 -47.459666
    Unten links KachelX 59835 KachelY + 1 85218 -0.27328826 -0.82835984 -15.658264 -47.461523
    Unten rechts KachelX + 1 59836 KachelY + 1 85218 -0.27324033 -0.82835984 -15.655518 -47.461523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82832743--0.82835984) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82832743--0.82835984) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27328826--0.27324033) × cos(-0.82832743) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67610905739017 × 6371000     		do = 206.458034266175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27328826--0.27324033) × cos(-0.82835984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.676085177296438 × 6371000     		du = 206.450742192277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82832743)-sin(-0.82835984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67610905739017-0.676085177296438)×R²
    abs(-0.27324033--0.27328826)×2.38800937318873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38800937318873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38800937318873e-05×40589641000000     		ar = 42629.5506127672m²