Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59835 / 59284
↖ ↑ ↗
← S 81.000890°
E148.683471°		 ← 95.55 m → S 81.000890°
E148.688965°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
S 81.001748°
E148.683471°		 ← 95.54 m →
9 125 m²		 S 81.001748°
E148.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913017272949219 y=0.904609680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913017272949219 × 216)
    floor (0.913017272949219 × 65536)
    floor (59835.5)     		tx = 59835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904609680175781 × 216)
    floor (0.904609680175781 × 65536)
    floor (59284.5)     		ty = 59284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59835 / 59284 ti = "16/59835/59284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59835/59284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59835 ÷ 216
    59835 ÷ 65536     		x = 0.913009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59284 ÷ 216
    59284 ÷ 65536     		y = 0.90460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913009643554688 × 2 - 1) × π
    0.826019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59501612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.8092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54218966065082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59501612} λ = 2.59501612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54218966065082))-π/2
    2×atan(0.0786938980674227)-π/2
    2×0.0785320556471886-π/2
    0.157064111294377-1.57079632675     		φ = -1.41373222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59501612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.683471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41373222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.000890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59835 KachelY 59284 2.59501612 -1.41373222 148.683471 -81.000890
    Oben rechts KachelX + 1 59836 KachelY 59284 2.59511200 -1.41373222 148.688965 -81.000890
    Unten links KachelX 59835 KachelY + 1 59285 2.59501612 -1.41374721 148.683471 -81.001748
    Unten rechts KachelX + 1 59836 KachelY + 1 59285 2.59511200 -1.41374721 148.688965 -81.001748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41373222--1.41374721) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41373222--1.41374721) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59501612-2.59511200) × cos(-1.41373222) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156419130286187 × 6371000     		do = 95.5488572355675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59501612-2.59511200) × cos(-1.41374721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156404324783983 × 6371000     		du = 95.5398132726339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41373222)-sin(-1.41374721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156419130286187-0.156404324783983)×R²
    abs(2.59511200-2.59501612)×1.4805502204257e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4805502204257e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4805502204257e-05×40589641000000     		ar = 9124.60726881018m²