Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59835 / 59075
↖ ↑ ↗
← S 80.819520°
E148.683471°		 ← 97.46 m → S 80.819520°
E148.688965°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
S 80.820397°
E148.683471°		 ← 97.45 m →
9 499 m²		 S 80.820397°
E148.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913017272949219 y=0.901420593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913017272949219 × 216)
    floor (0.913017272949219 × 65536)
    floor (59835.5)     		tx = 59835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901420593261719 × 216)
    floor (0.901420593261719 × 65536)
    floor (59075.5)     		ty = 59075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59835 / 59075 ti = "16/59835/59075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59835/59075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59835 ÷ 216
    59835 ÷ 65536     		x = 0.913009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59075 ÷ 216
    59075 ÷ 65536     		y = 0.901412963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913009643554688 × 2 - 1) × π
    0.826019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59501612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901412963867188 × 2 - 1) × π
    -0.802825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52215203660963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59501612} λ = 2.59501612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52215203660963))-π/2
    2×atan(0.0802866409113728)-π/2
    2×0.0801147972906656-π/2
    0.160229594581331-1.57079632675     		φ = -1.41056673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59501612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.683471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41056673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.819520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59835 KachelY 59075 2.59501612 -1.41056673 148.683471 -80.819520
    Oben rechts KachelX + 1 59836 KachelY 59075 2.59511200 -1.41056673 148.688965 -80.819520
    Unten links KachelX 59835 KachelY + 1 59076 2.59501612 -1.41058203 148.683471 -80.820397
    Unten rechts KachelX + 1 59836 KachelY + 1 59076 2.59511200 -1.41058203 148.688965 -80.820397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41056673--1.41058203) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41056673--1.41058203) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59501612-2.59511200) × cos(-1.41056673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159544866633147 × 6371000     		do = 97.4582179091967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59501612-2.59511200) × cos(-1.41058203) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159529762597094 × 6371000     		du = 97.4489915864198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41056673)-sin(-1.41058203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159544866633147-0.159529762597094)×R²
    abs(2.59511200-2.59501612)×1.51040360530097e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51040360530097e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51040360530097e-05×40589641000000     		ar = 9499.41681292734m²