Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59834 / 85222
↖ ↑ ↗
← S 47.468949°
W 15.661011°		 ← 206.46 m → S 47.468949°
W 15.658264°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 47.470806°
W 15.661011°		 ← 206.46 m →
42 631 m²		 S 47.470806°
W 15.658264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456501007080078 y=0.650196075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456501007080078 × 217)
    floor (0.456501007080078 × 131072)
    floor (59834.5)     		tx = 59834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650196075439453 × 217)
    floor (0.650196075439453 × 131072)
    floor (85222.5)     		ty = 85222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59834 / 85222 ti = "17/59834/85222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59834/85222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59834 ÷ 217
    59834 ÷ 131072     		x = 0.456497192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85222 ÷ 217
    85222 ÷ 131072     		y = 0.650192260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456497192382812 × 2 - 1) × π
    -0.087005615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27333620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650192260742188 × 2 - 1) × π
    -0.300384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.943685805920425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27333620} λ = -0.27333620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943685805920425))-π/2
    2×atan(0.389190707085191)-π/2
    2×0.371153431237122-π/2
    0.742306862474244-1.57079632675     		φ = -0.82848946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27333620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.661011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82848946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.468949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59834 KachelY 85222 -0.27333620 -0.82848946 -15.661011 -47.468949
    Oben rechts KachelX + 1 59835 KachelY 85222 -0.27328826 -0.82848946 -15.658264 -47.468949
    Unten links KachelX 59834 KachelY + 1 85223 -0.27333620 -0.82852187 -15.661011 -47.470806
    Unten rechts KachelX + 1 59835 KachelY + 1 85223 -0.27328826 -0.82852187 -15.658264 -47.470806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82848946--0.82852187) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82848946--0.82852187) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27333620--0.27328826) × cos(-0.82848946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67598966455833 × 6371000     		do = 206.464643529944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27333620--0.27328826) × cos(-0.82852187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67596578091446 × 6371000     		du = 206.457348850341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82848946)-sin(-0.82852187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67598966455833-0.67596578091446)×R²
    abs(-0.27328826--0.27333620)×2.38836438696266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38836438696266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38836438696266e-05×40589641000000     		ar = 42630.9150516916m²