Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59833 / 35635
↖ ↑ ↗
← N 63.170475°
W 15.663757°		 ← 137.85 m → N 63.170475°
W 15.661011°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
N 63.169235°
W 15.663757°		 ← 137.86 m →
19 006 m²		 N 63.169235°
W 15.661011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456493377685547 y=0.271877288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456493377685547 × 217)
    floor (0.456493377685547 × 131072)
    floor (59833.5)     		tx = 59833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271877288818359 × 217)
    floor (0.271877288818359 × 131072)
    floor (35635.5)     		ty = 35635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59833 / 35635 ti = "17/59833/35635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59833/35635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59833 ÷ 217
    59833 ÷ 131072     		x = 0.456489562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35635 ÷ 217
    35635 ÷ 131072     		y = 0.271873474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456489562988281 × 2 - 1) × π
    -0.0870208740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27338414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271873474121094 × 2 - 1) × π
    0.456253051757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.4333612355393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27338414} λ = -0.27338414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4333612355393))-π/2
    2×atan(4.19276841589693)-π/2
    2×1.33666455223713-π/2
    2.67332910447426-1.57079632675     		φ = 1.10253278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27338414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.663757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10253278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.170475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59833 KachelY 35635 -0.27338414 1.10253278 -15.663757 63.170475
    Oben rechts KachelX + 1 59834 KachelY 35635 -0.27333620 1.10253278 -15.661011 63.170475
    Unten links KachelX 59833 KachelY + 1 35636 -0.27338414 1.10251114 -15.663757 63.169235
    Unten rechts KachelX + 1 59834 KachelY + 1 35636 -0.27333620 1.10251114 -15.661011 63.169235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10253278-1.10251114) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dl = 137.868439999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10253278-1.10251114) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dr = 137.868439999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27338414--0.27333620) × cos(1.10253278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451337436758503 × 6371000     		do = 137.850070611738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27338414--0.27333620) × cos(1.10251114) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451356747179523 × 6371000     		du = 137.855968511368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10253278)-sin(1.10251114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451337436758503-0.451356747179523)×R²
    abs(-0.27333620--0.27338414)×1.93104210193251e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93104210193251e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93104210193251e-05×40589641000000     		ar = 19005.5807569898m²