Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59833 / 30331
↖ ↑ ↗
← N 69.042054°
W 15.663757°		 ← 109.25 m → N 69.042054°
W 15.661011°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.041072°
W 15.663757°		 ← 109.25 m →
11 937 m²		 N 69.041072°
W 15.661011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456493377685547 y=0.231410980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456493377685547 × 217)
    floor (0.456493377685547 × 131072)
    floor (59833.5)     		tx = 59833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231410980224609 × 217)
    floor (0.231410980224609 × 131072)
    floor (30331.5)     		ty = 30331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59833 / 30331 ti = "17/59833/30331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59833/30331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59833 ÷ 217
    59833 ÷ 131072     		x = 0.456489562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30331 ÷ 217
    30331 ÷ 131072     		y = 0.231407165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456489562988281 × 2 - 1) × π
    -0.0870208740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27338414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231407165527344 × 2 - 1) × π
    0.537185668945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.68761855112408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27338414} λ = -0.27338414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68761855112408))-π/2
    2×atan(5.40658984445305)-π/2
    2×1.38790374820252-π/2
    2.77580749640504-1.57079632675     		φ = 1.20501117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27338414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.663757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20501117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.042054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59833 KachelY 30331 -0.27338414 1.20501117 -15.663757 69.042054
    Oben rechts KachelX + 1 59834 KachelY 30331 -0.27333620 1.20501117 -15.661011 69.042054
    Unten links KachelX 59833 KachelY + 1 30332 -0.27338414 1.20499402 -15.663757 69.041072
    Unten rechts KachelX + 1 59834 KachelY + 1 30332 -0.27333620 1.20499402 -15.661011 69.041072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20501117-1.20499402) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20501117-1.20499402) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27338414--0.27333620) × cos(1.20501117) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357682617995435 × 6371000     		do = 109.245478286448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27338414--0.27333620) × cos(1.20499402) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35769863335392 × 6371000     		du = 109.250369789165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20501117)-sin(1.20499402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357682617995435-0.35769863335392)×R²
    abs(-0.27333620--0.27338414)×1.60153584853884e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60153584853884e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60153584853884e-05×40589641000000     		ar = 11936.7176874489m²