Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59832 / 59066
↖ ↑ ↗
← S 80.811630°
E148.666992°		 ← 97.54 m → S 80.811630°
E148.672486°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 80.812507°
E148.666992°		 ← 97.53 m →
9 514 m²		 S 80.812507°
E148.672486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912971496582031 y=0.901283264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912971496582031 × 216)
    floor (0.912971496582031 × 65536)
    floor (59832.5)     		tx = 59832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901283264160156 × 216)
    floor (0.901283264160156 × 65536)
    floor (59066.5)     		ty = 59066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59832 / 59066 ti = "16/59832/59066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59832/59066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59832 ÷ 216
    59832 ÷ 65536     		x = 0.9129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59066 ÷ 216
    59066 ÷ 65536     		y = 0.901275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9129638671875 × 2 - 1) × π
    0.825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59472850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.80255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52128917241647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59472850} λ = 2.59472850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52128917241647))-π/2
    2×atan(0.0803559472756944)-π/2
    2×0.0801836593904155-π/2
    0.160367318780831-1.57079632675     		φ = -1.41042901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59472850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41042901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.811630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59832 KachelY 59066 2.59472850 -1.41042901 148.666992 -80.811630
    Oben rechts KachelX + 1 59833 KachelY 59066 2.59482438 -1.41042901 148.672486 -80.811630
    Unten links KachelX 59832 KachelY + 1 59067 2.59472850 -1.41044432 148.666992 -80.812507
    Unten rechts KachelX + 1 59833 KachelY + 1 59067 2.59482438 -1.41044432 148.672486 -80.812507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41042901--1.41044432) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41042901--1.41044432) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59472850-2.59482438) × cos(-1.41042901) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15968082101992 × 6371000     		do = 97.5412658475692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59472850-2.59482438) × cos(-1.41044432) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159665707448462 × 6371000     		du = 97.5320337000763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41042901)-sin(-1.41044432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15968082101992-0.159665707448462)×R²
    abs(2.59482438-2.59472850)×1.51135714574757e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51135714574757e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51135714574757e-05×40589641000000     		ar = 9513.72579463621m²