Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59831 / 59225
↖ ↑ ↗
← S 80.950053°
E148.661499°		 ← 96.07 m → S 80.950053°
E148.666992°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
S 80.950917°
E148.661499°		 ← 96.07 m →
9 230 m²		 S 80.950917°
E148.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912956237792969 y=0.903709411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912956237792969 × 216)
    floor (0.912956237792969 × 65536)
    floor (59831.5)     		tx = 59831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903709411621094 × 216)
    floor (0.903709411621094 × 65536)
    floor (59225.5)     		ty = 59225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59831 / 59225 ti = "16/59831/59225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59831/59225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59831 ÷ 216
    59831 ÷ 65536     		x = 0.912948608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59225 ÷ 216
    59225 ÷ 65536     		y = 0.903701782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912948608398438 × 2 - 1) × π
    0.825897216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59463263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903701782226562 × 2 - 1) × π
    -0.807403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53653310649565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59463263} λ = 2.59463263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53653310649565))-π/2
    2×atan(0.0791402957094739)-π/2
    2×0.078975690365762-π/2
    0.157951380731524-1.57079632675     		φ = -1.41284495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59463263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.661499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41284495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.950053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59831 KachelY 59225 2.59463263 -1.41284495 148.661499 -80.950053
    Oben rechts KachelX + 1 59832 KachelY 59225 2.59472850 -1.41284495 148.666992 -80.950053
    Unten links KachelX 59831 KachelY + 1 59226 2.59463263 -1.41286003 148.661499 -80.950917
    Unten rechts KachelX + 1 59832 KachelY + 1 59226 2.59472850 -1.41286003 148.666992 -80.950917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41284495--1.41286003) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41284495--1.41286003) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59463263-2.59472850) × cos(-1.41284495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15729541698972 × 6371000     		do = 96.0741169743692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59463263-2.59472850) × cos(-1.41286003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157280524693791 × 6371000     		du = 96.0650209421482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41284495)-sin(-1.41286003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15729541698972-0.157280524693791)×R²
    abs(2.59472850-2.59463263)×1.48922959294917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48922959294917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48922959294917e-05×40589641000000     		ar = 9229.85309553943m²