Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59830 / 82332
↖ ↑ ↗
← S 41.828642°
W 15.671997°		 ← 227.59 m → S 41.828642°
W 15.669250°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
S 41.830688°
W 15.671997°		 ← 227.58 m →
51 791 m²		 S 41.830688°
W 15.669250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456470489501953 y=0.628147125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456470489501953 × 217)
    floor (0.456470489501953 × 131072)
    floor (59830.5)     		tx = 59830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628147125244141 × 217)
    floor (0.628147125244141 × 131072)
    floor (82332.5)     		ty = 82332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59830 / 82332 ti = "17/59830/82332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59830/82332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59830 ÷ 217
    59830 ÷ 131072     		x = 0.456466674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82332 ÷ 217
    82332 ÷ 131072     		y = 0.628143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456466674804688 × 2 - 1) × π
    -0.087066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27352795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.25628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.805148166018463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27352795} λ = -0.27352795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805148166018463))-π/2
    2×atan(0.447021688228631)-π/2
    2×0.420374401120793-π/2
    0.840748802241586-1.57079632675     		φ = -0.73004752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27352795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.671997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73004752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.828642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59830 KachelY 82332 -0.27352795 -0.73004752 -15.671997 -41.828642
    Oben rechts KachelX + 1 59831 KachelY 82332 -0.27348001 -0.73004752 -15.669250 -41.828642
    Unten links KachelX 59830 KachelY + 1 82333 -0.27352795 -0.73008324 -15.671997 -41.830688
    Unten rechts KachelX + 1 59831 KachelY + 1 82333 -0.27348001 -0.73008324 -15.669250 -41.830688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73004752--0.73008324) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dl = 227.572120000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73004752--0.73008324) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dr = 227.572120000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27352795--0.27348001) × cos(-0.73004752) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.745142711858469 × 6371000     		do = 227.585764175094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27352795--0.27348001) × cos(-0.73008324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.745118889534898 × 6371000     		du = 227.578488224289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73004752)-sin(-0.73008324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745142711858469-0.745118889534898)×R²
    abs(-0.27348001--0.27352795)×2.3822323570788e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3822323570788e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3822323570788e-05×40589641000000     		ar = 51791.3469387833m²