Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59830 / 59466
↖ ↑ ↗
← S 81.155930°
E148.656006°		 ← 93.91 m → S 81.155930°
E148.661499°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
S 81.156775°
E148.656006°		 ← 93.90 m →
8 818 m²		 S 81.156775°
E148.661499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912940979003906 y=0.907386779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912940979003906 × 216)
    floor (0.912940979003906 × 65536)
    floor (59830.5)     		tx = 59830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907386779785156 × 216)
    floor (0.907386779785156 × 65536)
    floor (59466.5)     		ty = 59466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59830 / 59466 ti = "16/59830/59466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59830/59466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59830 ÷ 216
    59830 ÷ 65536     		x = 0.912933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59466 ÷ 216
    59466 ÷ 65536     		y = 0.907379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912933349609375 × 2 - 1) × π
    0.82586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59453676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.81475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55963869211252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59453676} λ = 2.59453676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55963869211252))-π/2
    2×atan(0.0773326763021808)-π/2
    2×0.077179068464538-π/2
    0.154358136929076-1.57079632675     		φ = -1.41643819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59453676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41643819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.155930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59830 KachelY 59466 2.59453676 -1.41643819 148.656006 -81.155930
    Oben rechts KachelX + 1 59831 KachelY 59466 2.59463263 -1.41643819 148.661499 -81.155930
    Unten links KachelX 59830 KachelY + 1 59467 2.59453676 -1.41645293 148.656006 -81.156775
    Unten rechts KachelX + 1 59831 KachelY + 1 59467 2.59463263 -1.41645293 148.661499 -81.156775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41643819--1.41645293) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dl = 93.908539999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41643819--1.41645293) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dr = 93.908539999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59453676-2.59463263) × cos(-1.41643819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153745899285465 × 6371000     		do = 93.9061149712114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59453676-2.59463263) × cos(-1.41645293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1537313345212 × 6371000     		du = 93.8972189913255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41643819)-sin(-1.41645293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153745899285465-0.1537313345212)×R²
    abs(2.59463263-2.59453676)×1.45647642648683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45647642648683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45647642648683e-05×40589641000000     		ar = 8818.16844999576m²